Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49158 / 16390
↖ ↑ ↗
← N 66.500122°
E 90.032959°		 ← 243.55 m → N 66.500122°
E 90.038452°		 →
↑
243.63 m
↓
↑
243.63 m
↓
N 66.497931°
E 90.032959°		 ← 243.57 m →
59 338 m²		 N 66.497931°
E 90.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750099182128906 y=0.250099182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750099182128906 × 216)
    floor (0.750099182128906 × 65536)
    floor (49158.5)     		tx = 49158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250099182128906 × 216)
    floor (0.250099182128906 × 65536)
    floor (16390.5)     		ty = 16390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49158 / 16390 ti = "16/49158/16390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49158/16390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49158 ÷ 216
    49158 ÷ 65536     		x = 0.750091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16390 ÷ 216
    16390 ÷ 65536     		y = 0.250091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750091552734375 × 2 - 1) × π
    0.50018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57137157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250091552734375 × 2 - 1) × π
    0.49981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57022108395456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57137157} λ = 1.57137157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57022108395456))-π/2
    2×atan(4.80771098404464)-π/2
    2×1.36572120091477-π/2
    2.73144240182954-1.57079632675     		φ = 1.16064608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57137157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16064608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.500122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49158 KachelY 16390 1.57137157 1.16064608 90.032959 66.500122
    Oben rechts KachelX + 1 49159 KachelY 16390 1.57146744 1.16064608 90.038452 66.500122
    Unten links KachelX 49158 KachelY + 1 16391 1.57137157 1.16060784 90.032959 66.497931
    Unten rechts KachelX + 1 49159 KachelY + 1 16391 1.57146744 1.16060784 90.038452 66.497931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16064608-1.16060784) × R
    3.82400000000782e-05 × 6371000     		dl = 243.627040000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16064608-1.16060784) × R
    3.82400000000782e-05 × 6371000     		dr = 243.627040000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57137157-1.57146744) × cos(1.16064608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398747117948942 × 6371000     		do = 243.549862965956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57137157-1.57146744) × cos(1.16060784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398782186067074 × 6371000     		du = 243.571282143628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16064608)-sin(1.16060784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398747117948942-0.398782186067074)×R²
    abs(1.57146744-1.57137157)×3.50681181317536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50681181317536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50681181317536e-05×40589641000000     		ar = 59337.9413596133m²