Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49158 / 49158
↖ ↑ ↗
← S 66.526393°
E 90.032959°		 ← 243.29 m → S 66.526393°
E 90.038452°		 →
↑
243.24 m
↓
↑
243.24 m
↓
S 66.528580°
E 90.032959°		 ← 243.27 m →
59 177 m²		 S 66.528580°
E 90.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750099182128906 y=0.750099182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750099182128906 × 216)
    floor (0.750099182128906 × 65536)
    floor (49158.5)     		tx = 49158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750099182128906 × 216)
    floor (0.750099182128906 × 65536)
    floor (49158.5)     		ty = 49158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49158 / 49158 ti = "16/49158/49158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49158/49158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49158 ÷ 216
    49158 ÷ 65536     		x = 0.750091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49158 ÷ 216
    49158 ÷ 65536     		y = 0.750091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750091552734375 × 2 - 1) × π
    0.50018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57137157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.50018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57137156954544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57137157} λ = 1.57137157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57137156954544))-π/2
    2×atan(0.207760029519001)-π/2
    2×0.204845870439751-π/2
    0.409691740879502-1.57079632675     		φ = -1.16110459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57137157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16110459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.526393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49158 KachelY 49158 1.57137157 -1.16110459 90.032959 -66.526393
    Oben rechts KachelX + 1 49159 KachelY 49158 1.57146744 -1.16110459 90.038452 -66.526393
    Unten links KachelX 49158 KachelY + 1 49159 1.57137157 -1.16114277 90.032959 -66.528580
    Unten rechts KachelX + 1 49159 KachelY + 1 49159 1.57146744 -1.16114277 90.038452 -66.528580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16110459--1.16114277) × R
    3.81799999999988e-05 × 6371000     		dl = 243.244779999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16110459--1.16114277) × R
    3.81799999999988e-05 × 6371000     		dr = 243.244779999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57137157-1.57146744) × cos(-1.16110459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398326594445426 × 6371000     		do = 243.293012353011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57137157-1.57146744) × cos(-1.16114277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398291573792333 × 6371000     		du = 243.271622166404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16110459)-sin(-1.16114277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398326594445426-0.398291573792333)×R²
    abs(1.57146744-1.57137157)×3.5020653093798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5020653093798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5020653093798e-05×40589641000000     		ar = 59177.1537468842m²