Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49159 / 49161
↖ ↑ ↗
← S 66.532956°
E 90.038452°		 ← 243.25 m → S 66.532956°
E 90.043945°		 →
↑
243.24 m
↓
↑
243.24 m
↓
S 66.535143°
E 90.038452°		 ← 243.23 m →
59 168 m²		 S 66.535143°
E 90.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750114440917969 y=0.750144958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750114440917969 × 216)
    floor (0.750114440917969 × 65536)
    floor (49159.5)     		tx = 49159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750144958496094 × 216)
    floor (0.750144958496094 × 65536)
    floor (49161.5)     		ty = 49161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49159 / 49161 ti = "16/49159/49161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49159/49161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49159 ÷ 216
    49159 ÷ 65536     		x = 0.750106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49161 ÷ 216
    49161 ÷ 65536     		y = 0.750137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750106811523438 × 2 - 1) × π
    0.500213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57146744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.500274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57165919094316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57146744} λ = 1.57146744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57165919094316))-π/2
    2×atan(0.207700281881681)-π/2
    2×0.204788594369003-π/2
    0.409577188738006-1.57079632675     		φ = -1.16121914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57146744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16121914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.532956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49159 KachelY 49161 1.57146744 -1.16121914 90.038452 -66.532956
    Oben rechts KachelX + 1 49160 KachelY 49161 1.57156332 -1.16121914 90.043945 -66.532956
    Unten links KachelX 49159 KachelY + 1 49162 1.57146744 -1.16125732 90.038452 -66.535143
    Unten rechts KachelX + 1 49160 KachelY + 1 49162 1.57156332 -1.16125732 90.043945 -66.535143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16121914--1.16125732) × R
    3.81799999999988e-05 × 6371000     		dl = 243.244779999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16121914--1.16125732) × R
    3.81799999999988e-05 × 6371000     		dr = 243.244779999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57146744-1.57156332) × cos(-1.16121914) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.39822152157152 × 6371000     		do = 243.254205820218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57146744-1.57156332) × cos(-1.16125732) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.398186499176643 × 6371000     		du = 243.232812338475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16121914)-sin(-1.16125732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39822152157152-0.398186499176643)×R²
    abs(1.57156332-1.57146744)×3.5022394876405e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.5022394876405e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.5022394876405e-05×40589641000000     		ar = 59167.7138593964m²