Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49164 / 81940
↖ ↑ ↗
← S 41.021355°
W 44.967041°		 ← 230.43 m → S 41.021355°
W 44.964294°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
S 41.023427°
W 44.967041°		 ← 230.43 m →
53 100 m²		 S 41.023427°
W 44.964294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375095367431641 y=0.625156402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375095367431641 × 217)
    floor (0.375095367431641 × 131072)
    floor (49164.5)     		tx = 49164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625156402587891 × 217)
    floor (0.625156402587891 × 131072)
    floor (81940.5)     		ty = 81940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49164 / 81940 ti = "17/49164/81940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49164/81940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49164 ÷ 217
    49164 ÷ 131072     		x = 0.375091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81940 ÷ 217
    81940 ÷ 131072     		y = 0.625152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.24981689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78482292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.25030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786356901367401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78482292} λ = -0.78482292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786356901367401))-π/2
    2×atan(0.455501212048269)-π/2
    2×0.427419308267918-π/2
    0.854838616535836-1.57079632675     		φ = -0.71595771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78482292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71595771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.021355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49164 KachelY 81940 -0.78482292 -0.71595771 -44.967041 -41.021355
    Oben rechts KachelX + 1 49165 KachelY 81940 -0.78477498 -0.71595771 -44.964294 -41.021355
    Unten links KachelX 49164 KachelY + 1 81941 -0.78482292 -0.71599388 -44.967041 -41.023427
    Unten rechts KachelX + 1 49165 KachelY + 1 81941 -0.78477498 -0.71599388 -44.964294 -41.023427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71595771--0.71599388) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71595771--0.71599388) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78482292--0.78477498) × cos(-0.71595771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75446500366247 × 6371000     		do = 230.433032047562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78482292--0.78477498) × cos(-0.71599388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754441263341161 × 6371000     		du = 230.425781142358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71595771)-sin(-0.71599388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75446500366247-0.754441263341161)×R²
    abs(-0.78477498--0.78482292)×2.37403213089182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37403213089182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37403213089182e-05×40589641000000     		ar = 53099.9381623067m²