Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49168 / 16401
↖ ↑ ↗
← N 66.476016°
E 90.087891°		 ← 243.79 m → N 66.476016°
E 90.093384°		 →
↑
243.82 m
↓
↑
243.82 m
↓
N 66.473823°
E 90.087891°		 ← 243.81 m →
59 442 m²		 N 66.473823°
E 90.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750251770019531 y=0.250267028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750251770019531 × 216)
    floor (0.750251770019531 × 65536)
    floor (49168.5)     		tx = 49168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250267028808594 × 216)
    floor (0.250267028808594 × 65536)
    floor (16401.5)     		ty = 16401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49168 / 16401 ti = "16/49168/16401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49168/16401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49168 ÷ 216
    49168 ÷ 65536     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16401 ÷ 216
    16401 ÷ 65536     		y = 0.250259399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250259399414062 × 2 - 1) × π
    0.499481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56916647216292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56916647216292))-π/2
    2×atan(4.80264338799303)-π/2
    2×1.36551083750295-π/2
    2.7310216750059-1.57079632675     		φ = 1.16022535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16022535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.476016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49168 KachelY 16401 1.57233031 1.16022535 90.087891 66.476016
    Oben rechts KachelX + 1 49169 KachelY 16401 1.57242618 1.16022535 90.093384 66.476016
    Unten links KachelX 49168 KachelY + 1 16402 1.57233031 1.16018708 90.087891 66.473823
    Unten rechts KachelX + 1 49169 KachelY + 1 16402 1.57242618 1.16018708 90.093384 66.473823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16022535-1.16018708) × R
    3.82699999998959e-05 × 6371000     		dl = 243.818169999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16022535-1.16018708) × R
    3.82699999998959e-05 × 6371000     		dr = 243.818169999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57242618) × cos(1.16022535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399132917687706 × 6371000     		do = 243.785504728062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57242618) × cos(1.16018708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399168006893457 × 6371000     		du = 243.806936785794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16022535)-sin(1.16018708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399132917687706-0.399168006893457)×R²
    abs(1.57242618-1.57233031)×3.50892057513486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50892057513486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50892057513486e-05×40589641000000     		ar = 59441.9484049851m²