Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49169 / 114705
↖ ↑ ↗
← S 79.180103°
W 44.953308°		 ← 57.34 m → S 79.180103°
W 44.950562°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
S 79.180619°
W 44.953308°		 ← 57.33 m →
3 287 m²		 S 79.180619°
W 44.950562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375133514404297 y=0.875133514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375133514404297 × 217)
    floor (0.375133514404297 × 131072)
    floor (49169.5)     		tx = 49169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875133514404297 × 217)
    floor (0.875133514404297 × 131072)
    floor (114705.5)     		ty = 114705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49169 / 114705 ti = "17/49169/114705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49169/114705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49169 ÷ 217
    49169 ÷ 131072     		x = 0.375129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114705 ÷ 217
    114705 ÷ 131072     		y = 0.875129699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375129699707031 × 2 - 1) × π
    -0.249740600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78458324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875129699707031 × 2 - 1) × π
    -0.750259399414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.35700941741854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78458324} λ = -0.78458324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35700941741854))-π/2
    2×atan(0.0947030173199548)-π/2
    2×0.0944214113826576-π/2
    0.188842822765315-1.57079632675     		φ = -1.38195350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78458324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.953308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38195350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.180103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49169 KachelY 114705 -0.78458324 -1.38195350 -44.953308 -79.180103
    Oben rechts KachelX + 1 49170 KachelY 114705 -0.78453530 -1.38195350 -44.950562 -79.180103
    Unten links KachelX 49169 KachelY + 1 114706 -0.78458324 -1.38196250 -44.953308 -79.180619
    Unten rechts KachelX + 1 49170 KachelY + 1 114706 -0.78453530 -1.38196250 -44.950562 -79.180619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38195350--1.38196250) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38195350--1.38196250) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78458324--0.78453530) × cos(-1.38195350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187722419796208 × 6371000     		do = 57.33525898081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78458324--0.78453530) × cos(-1.38196250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187713579789525 × 6371000     		du = 57.3325590152272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38195350)-sin(-1.38196250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187722419796208-0.187713579789525)×R²
    abs(-0.78453530--0.78458324)×8.84000668296969e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84000668296969e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84000668296969e-06×40589641000000     		ar = 3287.46900792461m²