Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49169 / 49167
↖ ↑ ↗
← S 66.546077°
E 90.093384°		 ← 243.13 m → S 66.546077°
E 90.098877°		 →
↑
243.12 m
↓
↑
243.12 m
↓
S 66.548264°
E 90.093384°		 ← 243.10 m →
59 106 m²		 S 66.548264°
E 90.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750267028808594 y=0.750236511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750267028808594 × 216)
    floor (0.750267028808594 × 65536)
    floor (49169.5)     		tx = 49169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750236511230469 × 216)
    floor (0.750236511230469 × 65536)
    floor (49167.5)     		ty = 49167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49169 / 49167 ti = "16/49169/49167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49169/49167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49169 ÷ 216
    49169 ÷ 65536     		x = 0.750259399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49167 ÷ 216
    49167 ÷ 65536     		y = 0.750228881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750259399414062 × 2 - 1) × π
    0.500518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57242618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750228881835938 × 2 - 1) × π
    -0.500457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5722344337386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57242618} λ = 1.57242618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5722344337386))-π/2
    2×atan(0.207580838148785)-π/2
    2×0.204674087552077-π/2
    0.409348175104154-1.57079632675     		φ = -1.16144815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57242618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.093384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16144815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.546077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49169 KachelY 49167 1.57242618 -1.16144815 90.093384 -66.546077
    Oben rechts KachelX + 1 49170 KachelY 49167 1.57252206 -1.16144815 90.098877 -66.546077
    Unten links KachelX 49169 KachelY + 1 49168 1.57242618 -1.16148631 90.093384 -66.548264
    Unten rechts KachelX + 1 49170 KachelY + 1 49168 1.57252206 -1.16148631 90.098877 -66.548264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16144815--1.16148631) × R
    3.81599999998983e-05 × 6371000     		dl = 243.117359999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16144815--1.16148631) × R
    3.81599999998983e-05 × 6371000     		dr = 243.117359999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57242618-1.57252206) × cos(-1.16144815) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.398011442713294 × 6371000     		do = 243.125878838754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57242618-1.57252206) × cos(-1.16148631) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.397976435185511 × 6371000     		du = 243.104494438597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16144815)-sin(-1.16148631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398011442713294-0.397976435185511)×R²
    abs(1.57252206-1.57242618)×3.50075277823492e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.50075277823492e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.50075277823492e-05×40589641000000     		ar = 59105.5223584524m²