Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49169 / 81903
↖ ↑ ↗
← S 40.944639°
W 44.953308°		 ← 230.70 m → S 40.944639°
W 44.950562°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
S 40.946714°
W 44.953308°		 ← 230.69 m →
53 221 m²		 S 40.946714°
W 44.950562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375133514404297 y=0.624874114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375133514404297 × 217)
    floor (0.375133514404297 × 131072)
    floor (49169.5)     		tx = 49169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624874114990234 × 217)
    floor (0.624874114990234 × 131072)
    floor (81903.5)     		ty = 81903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49169 / 81903 ti = "17/49169/81903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49169/81903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49169 ÷ 217
    49169 ÷ 131072     		x = 0.375129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81903 ÷ 217
    81903 ÷ 131072     		y = 0.624870300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375129699707031 × 2 - 1) × π
    -0.249740600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78458324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624870300292969 × 2 - 1) × π
    -0.249740600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.784583236081459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78458324} λ = -0.78458324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784583236081459))-π/2
    2×atan(0.456309835637592)-π/2
    2×0.428088781861993-π/2
    0.856177563723985-1.57079632675     		φ = -0.71461876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78458324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.953308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71461876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.944639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49169 KachelY 81903 -0.78458324 -0.71461876 -44.953308 -40.944639
    Oben rechts KachelX + 1 49170 KachelY 81903 -0.78453530 -0.71461876 -44.950562 -40.944639
    Unten links KachelX 49169 KachelY + 1 81904 -0.78458324 -0.71465497 -44.953308 -40.946714
    Unten rechts KachelX + 1 49170 KachelY + 1 81904 -0.78453530 -0.71465497 -44.950562 -40.946714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71461876--0.71465497) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dl = 230.693909999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71461876--0.71465497) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dr = 230.693909999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78458324--0.78453530) × cos(-0.71461876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755343133915328 × 6371000     		do = 230.701235629857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78458324--0.78453530) × cos(-0.71465497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755319403939046 × 6371000     		du = 230.693987884291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71461876)-sin(-0.71465497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755343133915328-0.755319403939046)×R²
    abs(-0.78453530--0.78458324)×2.3729976281861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3729976281861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3729976281861e-05×40589641000000     		ar = 53220.5340896856m²