Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49171 / 81941
↖ ↑ ↗
← S 41.023427°
W 44.947815°		 ← 230.38 m → S 41.023427°
W 44.945069°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
S 41.025499°
W 44.947815°		 ← 230.37 m →
53 073 m²		 S 41.025499°
W 44.945069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375148773193359 y=0.625164031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375148773193359 × 217)
    floor (0.375148773193359 × 131072)
    floor (49171.5)     		tx = 49171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625164031982422 × 217)
    floor (0.625164031982422 × 131072)
    floor (81941.5)     		ty = 81941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49171 / 81941 ti = "17/49171/81941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49171/81941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49171 ÷ 217
    49171 ÷ 131072     		x = 0.375144958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81941 ÷ 217
    81941 ÷ 131072     		y = 0.625160217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375144958496094 × 2 - 1) × π
    -0.249710083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.78448736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625160217285156 × 2 - 1) × π
    -0.250320434570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.786404838267021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78448736} λ = -0.78448736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786404838267021))-π/2
    2×atan(0.45547937725574)-π/2
    2×0.427401225195827-π/2
    0.854802450391653-1.57079632675     		φ = -0.71599388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78448736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.947815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71599388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.023427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49171 KachelY 81941 -0.78448736 -0.71599388 -44.947815 -41.023427
    Oben rechts KachelX + 1 49172 KachelY 81941 -0.78443943 -0.71599388 -44.945069 -41.023427
    Unten links KachelX 49171 KachelY + 1 81942 -0.78448736 -0.71603004 -44.947815 -41.025499
    Unten rechts KachelX + 1 49172 KachelY + 1 81942 -0.78443943 -0.71603004 -44.945069 -41.025499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71599388--0.71603004) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dl = 230.3753600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71599388--0.71603004) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dr = 230.3753600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78448736--0.78443943) × cos(-0.71599388) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.754441263341161 × 6371000     		do = 230.377715689229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78448736--0.78443943) × cos(-0.71603004) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.754417528596789 × 6371000     		du = 230.370467999506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71599388)-sin(-0.71603004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754441263341161-0.754417528596789)×R²
    abs(-0.78443943--0.78448736)×2.373474437245e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.373474437245e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.373474437245e-05×40589641000000     		ar = 53072.5143492692m²