Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49176 / 81944
↖ ↑ ↗
← S 41.029644°
W 44.934082°		 ← 230.40 m → S 41.029644°
W 44.931335°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
S 41.031715°
W 44.934082°		 ← 230.40 m →
53 079 m²		 S 41.031715°
W 44.931335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375186920166016 y=0.625186920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375186920166016 × 217)
    floor (0.375186920166016 × 131072)
    floor (49176.5)     		tx = 49176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625186920166016 × 217)
    floor (0.625186920166016 × 131072)
    floor (81944.5)     		ty = 81944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49176 / 81944 ti = "17/49176/81944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49176/81944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49176 ÷ 217
    49176 ÷ 131072     		x = 0.37518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81944 ÷ 217
    81944 ÷ 131072     		y = 0.62518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.2496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78424768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.2503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.786548648965881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78424768} λ = -0.78424768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786548648965881))-π/2
    2×atan(0.455413879157957)-π/2
    2×0.427346979393342-π/2
    0.854693958786684-1.57079632675     		φ = -0.71610237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78424768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.934082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71610237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.029644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49176 KachelY 81944 -0.78424768 -0.71610237 -44.934082 -41.029644
    Oben rechts KachelX + 1 49177 KachelY 81944 -0.78419974 -0.71610237 -44.931335 -41.029644
    Unten links KachelX 49176 KachelY + 1 81945 -0.78424768 -0.71613853 -44.934082 -41.031715
    Unten rechts KachelX + 1 49177 KachelY + 1 81945 -0.78419974 -0.71613853 -44.931335 -41.031715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71610237--0.71613853) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dl = 230.3753600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71610237--0.71613853) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dr = 230.3753600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78424768--0.78419974) × cos(-0.71610237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754370049584275 × 6371000     		do = 230.404030627963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78424768--0.78419974) × cos(-0.71613853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.754346311880417 × 6371000     		du = 230.396780522196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71610237)-sin(-0.71613853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754370049584275-0.754346311880417)×R²
    abs(-0.78419974--0.78424768)×2.37377038581066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37377038581066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37377038581066e-05×40589641000000     		ar = 53078.5763843954m²