Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49183 / 49185
↖ ↑ ↗
← S 66.585400°
E 90.170288°		 ← 242.74 m → S 66.585400°
E 90.175781°		 →
↑
242.67 m
↓
↑
242.67 m
↓
S 66.587583°
E 90.170288°		 ← 242.72 m →
58 904 m²		 S 66.587583°
E 90.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750480651855469 y=0.750511169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750480651855469 × 216)
    floor (0.750480651855469 × 65536)
    floor (49183.5)     		tx = 49183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750511169433594 × 216)
    floor (0.750511169433594 × 65536)
    floor (49185.5)     		ty = 49185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49183 / 49185 ti = "16/49183/49185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49183/49185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49183 ÷ 216
    49183 ÷ 65536     		x = 0.750473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49185 ÷ 216
    49185 ÷ 65536     		y = 0.750503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750473022460938 × 2 - 1) × π
    0.500946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57376841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750503540039062 × 2 - 1) × π
    -0.501007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57396016212492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57376841} λ = 1.57376841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57396016212492))-π/2
    2×atan(0.207222918928442)-π/2
    2×0.204330929464949-π/2
    0.408661858929898-1.57079632675     		φ = -1.16213447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57376841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16213447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.585400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49183 KachelY 49185 1.57376841 -1.16213447 90.170288 -66.585400
    Oben rechts KachelX + 1 49184 KachelY 49185 1.57386429 -1.16213447 90.175781 -66.585400
    Unten links KachelX 49183 KachelY + 1 49186 1.57376841 -1.16217256 90.170288 -66.587583
    Unten rechts KachelX + 1 49184 KachelY + 1 49186 1.57386429 -1.16217256 90.175781 -66.587583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16213447--1.16217256) × R
    3.80899999998796e-05 × 6371000     		dl = 242.671389999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16213447--1.16217256) × R
    3.80899999998796e-05 × 6371000     		dr = 242.671389999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57376841-1.57386429) × cos(-1.16213447) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39738173247306 × 6371000     		do = 242.741219405974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57376841-1.57386429) × cos(-1.16217256) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.397346778766872 × 6371000     		du = 242.719867882817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16213447)-sin(-1.16217256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39738173247306-0.397346778766872)×R²
    abs(1.57386429-1.57376841)×3.49537061881122e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.49537061881122e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.49537061881122e-05×40589641000000     		ar = 58903.7584287658m²