Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49184 / 81824
↖ ↑ ↗
← S 40.780542°
W 44.912109°		 ← 231.23 m → S 40.780542°
W 44.909363°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.782621°
W 44.912109°		 ← 231.22 m →
53 474 m²		 S 40.782621°
W 44.909363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375247955322266 y=0.624271392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375247955322266 × 217)
    floor (0.375247955322266 × 131072)
    floor (49184.5)     		tx = 49184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624271392822266 × 217)
    floor (0.624271392822266 × 131072)
    floor (81824.5)     		ty = 81824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49184 / 81824 ti = "17/49184/81824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49184/81824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49184 ÷ 217
    49184 ÷ 131072     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81824 ÷ 217
    81824 ÷ 131072     		y = 0.624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780796221011475))-π/2
    2×atan(0.458041164076026)-π/2
    2×0.429520804039935-π/2
    0.85904160807987-1.57079632675     		φ = -0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49184 KachelY 81824 -0.78386418 -0.71175472 -44.912109 -40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 49185 KachelY 81824 -0.78381625 -0.71175472 -44.909363 -40.780542
    Unten links KachelX 49184 KachelY + 1 81825 -0.78386418 -0.71179102 -44.912109 -40.782621
    Unten rechts KachelX + 1 49185 KachelY + 1 81825 -0.78381625 -0.71179102 -44.909363 -40.782621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71175472--0.71179102) × R
    3.63000000001001e-05 × 6371000     		dl = 231.267300000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71175472--0.71179102) × R
    3.63000000001001e-05 × 6371000     		dr = 231.267300000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78381625) × cos(-0.71175472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 231.225296852114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78381625) × cos(-0.71179102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.75719321297575 × 6371000     		du = 231.218056616639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71175472)-sin(-0.71179102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.75719321297575)×R²
    abs(-0.78381625--0.78386418)×2.37103331921507e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37103331921507e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37103331921507e-05×40589641000000     		ar = 53474.012885854m²