Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49184 / 81951
↖ ↑ ↗
← S 41.044146°
W 44.912109°		 ← 230.31 m → S 41.044146°
W 44.909363°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
S 41.046217°
W 44.912109°		 ← 230.30 m →
53 041 m²		 S 41.046217°
W 44.909363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375247955322266 y=0.625240325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375247955322266 × 217)
    floor (0.375247955322266 × 131072)
    floor (49184.5)     		tx = 49184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625240325927734 × 217)
    floor (0.625240325927734 × 131072)
    floor (81951.5)     		ty = 81951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49184 / 81951 ti = "17/49184/81951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49184/81951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49184 ÷ 217
    49184 ÷ 131072     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81951 ÷ 217
    81951 ÷ 131072     		y = 0.625236511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625236511230469 × 2 - 1) × π
    -0.250473022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.786884207263222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786884207263222))-π/2
    2×atan(0.455261086888872)-π/2
    2×0.427220425768713-π/2
    0.854440851537427-1.57079632675     		φ = -0.71635548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71635548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.044146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49184 KachelY 81951 -0.78386418 -0.71635548 -44.912109 -41.044146
    Oben rechts KachelX + 1 49185 KachelY 81951 -0.78381625 -0.71635548 -44.909363 -41.044146
    Unten links KachelX 49184 KachelY + 1 81952 -0.78386418 -0.71639163 -44.912109 -41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 49185 KachelY + 1 81952 -0.78381625 -0.71639163 -44.909363 -41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71635548--0.71639163) × R
    3.61499999999015e-05 × 6371000     		dl = 230.311649999373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71635548--0.71639163) × R
    3.61499999999015e-05 × 6371000     		dr = 230.311649999373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78381625) × cos(-0.71635548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754203871511572 × 6371000     		do = 230.305225238774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78381625) × cos(-0.71639163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754180133470919 × 6371000     		du = 230.297976542492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71635548)-sin(-0.71639163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754203871511572-0.754180133470919)×R²
    abs(-0.78381625--0.78386418)×2.37380406529208e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37380406529208e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37380406529208e-05×40589641000000     		ar = 53041.1417043436m²