Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49184 / 81952
↖ ↑ ↗
← S 41.046217°
W 44.912109°		 ← 230.30 m → S 41.046217°
W 44.909363°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
S 41.048288°
W 44.912109°		 ← 230.29 m →
53 039 m²		 S 41.048288°
W 44.909363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375247955322266 y=0.625247955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375247955322266 × 217)
    floor (0.375247955322266 × 131072)
    floor (49184.5)     		tx = 49184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625247955322266 × 217)
    floor (0.625247955322266 × 131072)
    floor (81952.5)     		ty = 81952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49184 / 81952 ti = "17/49184/81952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49184/81952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49184 ÷ 217
    49184 ÷ 131072     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81952 ÷ 217
    81952 ÷ 131072     		y = 0.625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786932144162842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786932144162842))-π/2
    2×atan(0.455239263606924)-π/2
    2×0.427202348955508-π/2
    0.854404697911016-1.57079632675     		φ = -0.71639163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71639163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.046217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49184 KachelY 81952 -0.78386418 -0.71639163 -44.912109 -41.046217
    Oben rechts KachelX + 1 49185 KachelY 81952 -0.78381625 -0.71639163 -44.909363 -41.046217
    Unten links KachelX 49184 KachelY + 1 81953 -0.78386418 -0.71642778 -44.912109 -41.048288
    Unten rechts KachelX + 1 49185 KachelY + 1 81953 -0.78381625 -0.71642778 -44.909363 -41.048288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71639163--0.71642778) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dl = 230.31165000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71639163--0.71642778) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dr = 230.31165000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78381625) × cos(-0.71639163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754180133470919 × 6371000     		do = 230.297976542492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78381625) × cos(-0.71642778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754156394444687 × 6371000     		du = 230.290727545251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71639163)-sin(-0.71642778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754180133470919-0.754156394444687)×R²
    abs(-0.78381625--0.78386418)×2.37390262324277e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37390262324277e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37390262324277e-05×40589641000000     		ar = 53039.4722106758m²