Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49187 / 81955
↖ ↑ ↗
← S 41.052431°
W 44.903870°		 ← 230.32 m → S 41.052431°
W 44.901123°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
S 41.054502°
W 44.903870°		 ← 230.32 m →
53 046 m²		 S 41.054502°
W 44.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375270843505859 y=0.625270843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375270843505859 × 217)
    floor (0.375270843505859 × 131072)
    floor (49187.5)     		tx = 49187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625270843505859 × 217)
    floor (0.625270843505859 × 131072)
    floor (81955.5)     		ty = 81955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49187 / 81955 ti = "17/49187/81955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49187/81955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49187 ÷ 217
    49187 ÷ 131072     		x = 0.375267028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81955 ÷ 217
    81955 ÷ 131072     		y = 0.625267028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375267028808594 × 2 - 1) × π
    -0.249465942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.78372037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625267028808594 × 2 - 1) × π
    -0.250534057617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.787075954861702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78372037} λ = -0.78372037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787075954861702))-π/2
    2×atan(0.455173800037569)-π/2
    2×0.427148121930058-π/2
    0.854296243860117-1.57079632675     		φ = -0.71650008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78372037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.903870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71650008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.052431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49187 KachelY 81955 -0.78372037 -0.71650008 -44.903870 -41.052431
    Oben rechts KachelX + 1 49188 KachelY 81955 -0.78367243 -0.71650008 -44.901123 -41.052431
    Unten links KachelX 49187 KachelY + 1 81956 -0.78372037 -0.71653623 -44.903870 -41.054502
    Unten rechts KachelX + 1 49188 KachelY + 1 81956 -0.78367243 -0.71653623 -44.901123 -41.054502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71650008--0.71653623) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dl = 230.31165000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71650008--0.71653623) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dr = 230.31165000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78372037--0.78367243) × cos(-0.71650008) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.754108913435607 × 6371000     		do = 230.324272927049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78372037--0.78367243) × cos(-0.71653623) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.754085171452822 × 6371000     		du = 230.317021514387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71650008)-sin(-0.71653623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754108913435607-0.754085171452822)×R²
    abs(-0.78367243--0.78372037)×2.37419827850971e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37419827850971e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37419827850971e-05×40589641000000     		ar = 53045.5282962571m²