Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49188 / 114724
↖ ↑ ↗
← S 79.189895°
W 44.901123°		 ← 57.27 m → S 79.189895°
W 44.898377°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
S 79.190411°
W 44.901123°		 ← 57.27 m →
3 280 m²		 S 79.190411°
W 44.898377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375278472900391 y=0.875278472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375278472900391 × 217)
    floor (0.375278472900391 × 131072)
    floor (49188.5)     		tx = 49188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875278472900391 × 217)
    floor (0.875278472900391 × 131072)
    floor (114724.5)     		ty = 114724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49188 / 114724 ti = "17/49188/114724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49188/114724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49188 ÷ 217
    49188 ÷ 131072     		x = 0.375274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114724 ÷ 217
    114724 ÷ 131072     		y = 0.875274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.24945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78367243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.75054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35792021851132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78367243} λ = -0.78367243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35792021851132))-π/2
    2×atan(0.0946168009772198)-π/2
    2×0.0943359607204953-π/2
    0.188671921440991-1.57079632675     		φ = -1.38212441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78367243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38212441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.189895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49188 KachelY 114724 -0.78367243 -1.38212441 -44.901123 -79.189895
    Oben rechts KachelX + 1 49189 KachelY 114724 -0.78362450 -1.38212441 -44.898377 -79.189895
    Unten links KachelX 49188 KachelY + 1 114725 -0.78367243 -1.38213340 -44.901123 -79.190411
    Unten rechts KachelX + 1 49189 KachelY + 1 114725 -0.78362450 -1.38213340 -44.898377 -79.190411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38212441--1.38213340) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38212441--1.38213340) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78367243--0.78362450) × cos(-1.38212441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187554545472781 × 6371000     		do = 57.2720367413308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78367243--0.78362450) × cos(-1.38213340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18754571500004 × 6371000     		du = 57.2693402502488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38212441)-sin(-1.38213340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187554545472781-0.18754571500004)×R²
    abs(-0.78362450--0.78367243)×8.83047274111148e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83047274111148e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83047274111148e-06×40589641000000     		ar = 3280.19529216193m²