Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49188 / 16420
↖ ↑ ↗
← N 66.434323°
E 90.197754°		 ← 244.22 m → N 66.434323°
E 90.203247°		 →
↑
244.20 m
↓
↑
244.20 m
↓
N 66.432127°
E 90.197754°		 ← 244.24 m →
59 641 m²		 N 66.432127°
E 90.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750556945800781 y=0.250556945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750556945800781 × 216)
    floor (0.750556945800781 × 65536)
    floor (49188.5)     		tx = 49188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250556945800781 × 216)
    floor (0.250556945800781 × 65536)
    floor (16420.5)     		ty = 16420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49188 / 16420 ti = "16/49188/16420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49188/16420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49188 ÷ 216
    49188 ÷ 65536     		x = 0.75054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16420 ÷ 216
    16420 ÷ 65536     		y = 0.25054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75054931640625 × 2 - 1) × π
    0.5010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57424778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25054931640625 × 2 - 1) × π
    0.4989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56734486997736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57424778} λ = 1.57424778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56734486997736))-π/2
    2×atan(4.79390284561346)-π/2
    2×1.36514700307976-π/2
    2.73029400615952-1.57079632675     		φ = 1.15949768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57424778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15949768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.434323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49188 KachelY 16420 1.57424778 1.15949768 90.197754 66.434323
    Oben rechts KachelX + 1 49189 KachelY 16420 1.57434366 1.15949768 90.203247 66.434323
    Unten links KachelX 49188 KachelY + 1 16421 1.57424778 1.15945935 90.197754 66.432127
    Unten rechts KachelX + 1 49189 KachelY + 1 16421 1.57434366 1.15945935 90.203247 66.432127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15949768-1.15945935) × R
    3.83299999999753e-05 × 6371000     		dl = 244.200429999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15949768-1.15945935) × R
    3.83299999999753e-05 × 6371000     		dr = 244.200429999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57424778-1.57434366) × cos(1.15949768) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399800007542755 × 6371000     		do = 244.218426311343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57424778-1.57434366) × cos(1.15945935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399835140618928 × 6371000     		du = 244.23988740292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15949768)-sin(1.15945935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399800007542755-0.399835140618928)×R²
    abs(1.57434366-1.57424778)×3.51330761729773e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51330761729773e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51330761729773e-05×40589641000000     		ar = 59640.8651302246m²