Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49188 / 81948
↖ ↑ ↗
← S 41.037931°
W 44.901123°		 ← 230.33 m → S 41.037931°
W 44.898377°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
S 41.040002°
W 44.901123°		 ← 230.32 m →
53 046 m²		 S 41.040002°
W 44.898377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375278472900391 y=0.625217437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375278472900391 × 217)
    floor (0.375278472900391 × 131072)
    floor (49188.5)     		tx = 49188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625217437744141 × 217)
    floor (0.625217437744141 × 131072)
    floor (81948.5)     		ty = 81948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49188 / 81948 ti = "17/49188/81948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49188/81948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49188 ÷ 217
    49188 ÷ 131072     		x = 0.375274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81948 ÷ 217
    81948 ÷ 131072     		y = 0.625213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.24945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78367243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.25042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.786740396564362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78367243} λ = -0.78367243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786740396564362))-π/2
    2×atan(0.455326563011912)-π/2
    2×0.427274659622416-π/2
    0.854549319244833-1.57079632675     		φ = -0.71624701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78367243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71624701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.037931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49188 KachelY 81948 -0.78367243 -0.71624701 -44.901123 -41.037931
    Oben rechts KachelX + 1 49189 KachelY 81948 -0.78362450 -0.71624701 -44.898377 -41.037931
    Unten links KachelX 49188 KachelY + 1 81949 -0.78367243 -0.71628316 -44.901123 -41.040002
    Unten rechts KachelX + 1 49189 KachelY + 1 81949 -0.78362450 -0.71628316 -44.898377 -41.040002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71624701--0.71628316) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dl = 230.31165000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71624701--0.71628316) × R
    3.61500000000126e-05 × 6371000     		dr = 230.31165000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78367243--0.78362450) × cos(-0.71624701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754275092850914 × 6371000     		do = 230.326973531534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78367243--0.78362450) × cos(-0.71628316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.754251357767731 × 6371000     		du = 230.319725738352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71624701)-sin(-0.71628316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754275092850914-0.754251357767731)×R²
    abs(-0.78362450--0.78367243)×2.37350831827632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37350831827632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37350831827632e-05×40589641000000     		ar = 53046.1506935705m²