Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49191 / 81961
↖ ↑ ↗
← S 41.064857°
W 44.892883°		 ← 230.23 m → S 41.064857°
W 44.890137°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
S 41.066928°
W 44.892883°		 ← 230.23 m →
53 010 m²		 S 41.066928°
W 44.890137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375301361083984 y=0.625316619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375301361083984 × 217)
    floor (0.375301361083984 × 131072)
    floor (49191.5)     		tx = 49191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625316619873047 × 217)
    floor (0.625316619873047 × 131072)
    floor (81961.5)     		ty = 81961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49191 / 81961 ti = "17/49191/81961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49191/81961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49191 ÷ 217
    49191 ÷ 131072     		x = 0.375297546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81961 ÷ 217
    81961 ÷ 131072     		y = 0.625312805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375297546386719 × 2 - 1) × π
    -0.249404907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78352862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625312805175781 × 2 - 1) × π
    -0.250625610351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.787363576259422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78352862} λ = -0.78352862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787363576259422))-π/2
    2×atan(0.455042901138562)-π/2
    2×0.427039683243423-π/2
    0.854079366486845-1.57079632675     		φ = -0.71671696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78352862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.892883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71671696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.064857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49191 KachelY 81961 -0.78352862 -0.71671696 -44.892883 -41.064857
    Oben rechts KachelX + 1 49192 KachelY 81961 -0.78348069 -0.71671696 -44.890137 -41.064857
    Unten links KachelX 49191 KachelY + 1 81962 -0.78352862 -0.71675310 -44.892883 -41.066928
    Unten rechts KachelX + 1 49192 KachelY + 1 81962 -0.78348069 -0.71675310 -44.890137 -41.066928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71671696--0.71675310) × R
    3.61400000000733e-05 × 6371000     		dl = 230.247940000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71671696--0.71675310) × R
    3.61400000000733e-05 × 6371000     		dr = 230.247940000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78352862--0.78348069) × cos(-0.71671696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753966459895943 × 6371000     		do = 230.23272874588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78352862--0.78348069) × cos(-0.71675310) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753942718570838 × 6371000     		du = 230.225479046651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71671696)-sin(-0.71675310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753966459895943-0.753942718570838)×R²
    abs(-0.78348069--0.78352862)×2.37413251057417e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37413251057417e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37413251057417e-05×40589641000000     		ar = 53009.7769059818m²