Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49192 / 114728
↖ ↑ ↗
← S 79.191956°
W 44.890137°		 ← 57.27 m → S 79.191956°
W 44.887390°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
S 79.192470°
W 44.890137°		 ← 57.27 m →
3 277 m²		 S 79.192470°
W 44.887390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375308990478516 y=0.875308990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375308990478516 × 217)
    floor (0.375308990478516 × 131072)
    floor (49192.5)     		tx = 49192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875308990478516 × 217)
    floor (0.875308990478516 × 131072)
    floor (114728.5)     		ty = 114728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49192 / 114728 ti = "17/49192/114728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49192/114728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49192 ÷ 217
    49192 ÷ 131072     		x = 0.37530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114728 ÷ 217
    114728 ÷ 131072     		y = 0.87530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.2493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78348069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.7506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3581119661098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78348069} λ = -0.78348069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3581119661098))-π/2
    2×atan(0.09459866017214)-π/2
    2×0.0943179808464842-π/2
    0.188635961692968-1.57079632675     		φ = -1.38216037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78348069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.890137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38216037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.191956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49192 KachelY 114728 -0.78348069 -1.38216037 -44.890137 -79.191956
    Oben rechts KachelX + 1 49193 KachelY 114728 -0.78343275 -1.38216037 -44.887390 -79.191956
    Unten links KachelX 49192 KachelY + 1 114729 -0.78348069 -1.38216935 -44.890137 -79.192470
    Unten rechts KachelX + 1 49193 KachelY + 1 114729 -0.78343275 -1.38216935 -44.887390 -79.192470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38216037--1.38216935) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38216037--1.38216935) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78348069--0.78343275) × cos(-1.38216037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187519223490875 × 6371000     		do = 57.2731975988883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78348069--0.78343275) × cos(-1.38216935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187510402780134 × 6371000     		du = 57.270503526783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38216037)-sin(-1.38216935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187519223490875-0.187510402780134)×R²
    abs(-0.78343275--0.78348069)×8.82071074057023e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82071074057023e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82071074057023e-06×40589641000000     		ar = 3276.61306034457m²