Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49192 / 49192
↖ ↑ ↗
← S 66.600676°
E 90.219727°		 ← 242.57 m → S 66.600676°
E 90.225220°		 →
↑
242.54 m
↓
↑
242.54 m
↓
S 66.602857°
E 90.219727°		 ← 242.55 m →
58 830 m²		 S 66.602857°
E 90.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750617980957031 y=0.750617980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750617980957031 × 216)
    floor (0.750617980957031 × 65536)
    floor (49192.5)     		tx = 49192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750617980957031 × 216)
    floor (0.750617980957031 × 65536)
    floor (49192.5)     		ty = 49192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49192 / 49192 ti = "16/49192/49192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49192/49192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49192 ÷ 216
    49192 ÷ 65536     		x = 0.7506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49192 ÷ 216
    49192 ÷ 65536     		y = 0.7506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7506103515625 × 2 - 1) × π
    0.501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57463128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5746312787196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57463128} λ = 1.57463128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5746312787196))-π/2
    2×atan(0.207083894844654)-π/2
    2×0.204197625780241-π/2
    0.408395251560481-1.57079632675     		φ = -1.16240108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57463128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.219727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16240108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.600676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49192 KachelY 49192 1.57463128 -1.16240108 90.219727 -66.600676
    Oben rechts KachelX + 1 49193 KachelY 49192 1.57472715 -1.16240108 90.225220 -66.600676
    Unten links KachelX 49192 KachelY + 1 49193 1.57463128 -1.16243915 90.219727 -66.602857
    Unten rechts KachelX + 1 49193 KachelY + 1 49193 1.57472715 -1.16243915 90.225220 -66.602857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16240108--1.16243915) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dl = 242.543970000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16240108--1.16243915) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dr = 242.543970000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57463128-1.57472715) × cos(-1.16240108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397137062780417 × 6371000     		do = 242.566460959996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57463128-1.57472715) × cos(-1.16243915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397102123395657 × 6371000     		du = 242.545120411093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16240108)-sin(-1.16243915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397137062780417-0.397102123395657)×R²
    abs(1.57472715-1.57463128)×3.49393847607349e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49393847607349e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49393847607349e-05×40589641000000     		ar = 58830.4444264389m²