Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49194 / 81962
↖ ↑ ↗
← S 41.066928°
W 44.884643°		 ← 230.23 m → S 41.066928°
W 44.881897°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
S 41.068998°
W 44.884643°		 ← 230.22 m →
53 008 m²		 S 41.068998°
W 44.881897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375324249267578 y=0.625324249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375324249267578 × 217)
    floor (0.375324249267578 × 131072)
    floor (49194.5)     		tx = 49194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625324249267578 × 217)
    floor (0.625324249267578 × 131072)
    floor (81962.5)     		ty = 81962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49194 / 81962 ti = "17/49194/81962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49194/81962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49194 ÷ 217
    49194 ÷ 131072     		x = 0.375320434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81962 ÷ 217
    81962 ÷ 131072     		y = 0.625320434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375320434570312 × 2 - 1) × π
    -0.249359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78338481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625320434570312 × 2 - 1) × π
    -0.250640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787411513159042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78338481} λ = -0.78338481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787411513159042))-π/2
    2×atan(0.455021088315511)-π/2
    2×0.427021612120714-π/2
    0.854043224241428-1.57079632675     		φ = -0.71675310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78338481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.884643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71675310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.066928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49194 KachelY 81962 -0.78338481 -0.71675310 -44.884643 -41.066928
    Oben rechts KachelX + 1 49195 KachelY 81962 -0.78333688 -0.71675310 -44.881897 -41.066928
    Unten links KachelX 49194 KachelY + 1 81963 -0.78338481 -0.71678924 -44.884643 -41.068998
    Unten rechts KachelX + 1 49195 KachelY + 1 81963 -0.78333688 -0.71678924 -44.881897 -41.068998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71675310--0.71678924) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dl = 230.24793999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71675310--0.71678924) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dr = 230.24793999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78338481--0.78333688) × cos(-0.71675310) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753942718570838 × 6371000     		do = 230.225479046651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78338481--0.78333688) × cos(-0.71678924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753918976261008 × 6371000     		du = 230.218229046724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71675310)-sin(-0.71678924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753942718570838-0.753918976261008)×R²
    abs(-0.78333688--0.78338481)×2.37423098299328e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37423098299328e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37423098299328e-05×40589641000000     		ar = 53008.1076429909m²