Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49215 / 16447
↖ ↑ ↗
← N 66.374956°
E 90.346070°		 ← 244.77 m → N 66.374956°
E 90.351563°		 →
↑
244.77 m
↓
↑
244.77 m
↓
N 66.372755°
E 90.346070°		 ← 244.79 m →
59 917 m²		 N 66.372755°
E 90.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750968933105469 y=0.250968933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750968933105469 × 216)
    floor (0.750968933105469 × 65536)
    floor (49215.5)     		tx = 49215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250968933105469 × 216)
    floor (0.250968933105469 × 65536)
    floor (16447.5)     		ty = 16447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49215 / 16447 ti = "16/49215/16447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49215/16447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49215 ÷ 216
    49215 ÷ 65536     		x = 0.750961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16447 ÷ 216
    16447 ÷ 65536     		y = 0.250961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750961303710938 × 2 - 1) × π
    0.501922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57683638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250961303710938 × 2 - 1) × π
    0.498077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56475627739787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57683638} λ = 1.57683638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56475627739787))-π/2
    2×atan(4.78150943195036)-π/2
    2×1.36462892912853-π/2
    2.72925785825706-1.57079632675     		φ = 1.15846153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57683638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.346070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15846153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.374956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49215 KachelY 16447 1.57683638 1.15846153 90.346070 66.374956
    Oben rechts KachelX + 1 49216 KachelY 16447 1.57693225 1.15846153 90.351563 66.374956
    Unten links KachelX 49215 KachelY + 1 16448 1.57683638 1.15842311 90.346070 66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 49216 KachelY + 1 16448 1.57693225 1.15842311 90.351563 66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15846153-1.15842311) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dl = 244.773820000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15846153-1.15842311) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dr = 244.773820000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57683638-1.57693225) × cos(1.15846153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400749530332355 × 6371000     		do = 244.772911960241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57683638-1.57693225) × cos(1.15842311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 244.794411466083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15846153)-sin(1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400749530332355-0.400784729966169)×R²
    abs(1.57693225-1.57683638)×3.51996338143201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51996338143201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51996338143201e-05×40589641000000     		ar = 59916.6319586717m²