Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49215 / 82113
↖ ↑ ↗
← S 41.378869°
W 44.826965°		 ← 229.18 m → S 41.378869°
W 44.824219°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
S 41.380930°
W 44.826965°		 ← 229.17 m →
52 519 m²		 S 41.380930°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375484466552734 y=0.626476287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375484466552734 × 217)
    floor (0.375484466552734 × 131072)
    floor (49215.5)     		tx = 49215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626476287841797 × 217)
    floor (0.626476287841797 × 131072)
    floor (82113.5)     		ty = 82113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49215 / 82113 ti = "17/49215/82113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49215/82113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49215 ÷ 217
    49215 ÷ 131072     		x = 0.375480651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82113 ÷ 217
    82113 ÷ 131072     		y = 0.626472473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375480651855469 × 2 - 1) × π
    -0.249038696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.78237814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626472473144531 × 2 - 1) × π
    -0.252944946289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.794649985001671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78237814} λ = -0.78237814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794649985001671))-π/2
    2×atan(0.451739322792728)-π/2
    2×0.424299406557612-π/2
    0.848598813115224-1.57079632675     		φ = -0.72219751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78237814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.826965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72219751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.378869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49215 KachelY 82113 -0.78237814 -0.72219751 -44.826965 -41.378869
    Oben rechts KachelX + 1 49216 KachelY 82113 -0.78233020 -0.72219751 -44.824219 -41.378869
    Unten links KachelX 49215 KachelY + 1 82114 -0.78237814 -0.72223348 -44.826965 -41.380930
    Unten rechts KachelX + 1 49216 KachelY + 1 82114 -0.78233020 -0.72223348 -44.824219 -41.380930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72219751--0.72223348) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72219751--0.72223348) × R
    3.59699999999963e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78237814--0.78233020) × cos(-0.72219751) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750354910643537 × 6371000     		do = 229.177703846317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78237814--0.78233020) × cos(-0.72223348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750331132722728 × 6371000     		du = 229.170441457258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72219751)-sin(-0.72223348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750354910643537-0.750331132722728)×R²
    abs(-0.78233020--0.78237814)×2.37779208088762e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37779208088762e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37779208088762e-05×40589641000000     		ar = 52518.6465724097m²