Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49216 / 114624
↖ ↑ ↗
← S 79.138261°
W 44.824219°		 ← 57.55 m → S 79.138261°
W 44.821472°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
S 79.138778°
W 44.824219°		 ← 57.55 m →
3 311 m²		 S 79.138778°
W 44.821472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375492095947266 y=0.874515533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375492095947266 × 217)
    floor (0.375492095947266 × 131072)
    floor (49216.5)     		tx = 49216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874515533447266 × 217)
    floor (0.874515533447266 × 131072)
    floor (114624.5)     		ty = 114624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49216 / 114624 ti = "17/49216/114624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49216/114624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49216 ÷ 217
    49216 ÷ 131072     		x = 0.37548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114624 ÷ 217
    114624 ÷ 131072     		y = 0.87451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35312652854932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78233020} λ = -0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35312652854932))-π/2
    2×atan(0.0950714534471533)-π/2
    2×0.0947865598596324-π/2
    0.189573119719265-1.57079632675     		φ = -1.38122321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38122321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.138261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49216 KachelY 114624 -0.78233020 -1.38122321 -44.824219 -79.138261
    Oben rechts KachelX + 1 49217 KachelY 114624 -0.78228226 -1.38122321 -44.821472 -79.138261
    Unten links KachelX 49216 KachelY + 1 114625 -0.78233020 -1.38123224 -44.824219 -79.138778
    Unten rechts KachelX + 1 49217 KachelY + 1 114625 -0.78228226 -1.38123224 -44.821472 -79.138778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38122321--1.38123224) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38122321--1.38123224) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78233020--0.78228226) × cos(-1.38122321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188439676666111 × 6371000     		do = 57.5543276910701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78233020--0.78228226) × cos(-1.38123224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188430808432989 × 6371000     		du = 57.5516191044061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38122321)-sin(-1.38123224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188439676666111-0.188430808432989)×R²
    abs(-0.78228226--0.78233020)×8.86823312257201e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86823312257201e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86823312257201e-06×40589641000000     		ar = 3311.03004154029m²