Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49217 / 16449
↖ ↑ ↗
← N 66.370553°
E 90.357055°		 ← 244.84 m → N 66.370553°
E 90.362549°		 →
↑
244.84 m
↓
↑
244.84 m
↓
N 66.368351°
E 90.357055°		 ← 244.86 m →
59 949 m²		 N 66.368351°
E 90.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750999450683594 y=0.250999450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750999450683594 × 216)
    floor (0.750999450683594 × 65536)
    floor (49217.5)     		tx = 49217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250999450683594 × 216)
    floor (0.250999450683594 × 65536)
    floor (16449.5)     		ty = 16449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49217 / 16449 ti = "16/49217/16449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49217/16449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49217 ÷ 216
    49217 ÷ 65536     		x = 0.750991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16449 ÷ 216
    16449 ÷ 65536     		y = 0.250991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750991821289062 × 2 - 1) × π
    0.501983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57702812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250991821289062 × 2 - 1) × π
    0.498016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56456452979939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57702812} λ = 1.57702812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56456452979939))-π/2
    2×atan(4.78059267689527)-π/2
    2×1.36459050437361-π/2
    2.72918100874722-1.57079632675     		φ = 1.15838468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57702812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.357055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15838468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.370553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49217 KachelY 16449 1.57702812 1.15838468 90.357055 66.370553
    Oben rechts KachelX + 1 49218 KachelY 16449 1.57712400 1.15838468 90.362549 66.370553
    Unten links KachelX 49217 KachelY + 1 16450 1.57702812 1.15834625 90.357055 66.368351
    Unten rechts KachelX + 1 49218 KachelY + 1 16450 1.57712400 1.15834625 90.362549 66.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15838468-1.15834625) × R
    3.84300000000337e-05 × 6371000     		dl = 244.837530000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15838468-1.15834625) × R
    3.84300000000337e-05 × 6371000     		dr = 244.837530000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57702812-1.57712400) × cos(1.15838468) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400819938169955 × 6371000     		do = 244.841452444465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57702812-1.57712400) × cos(1.15834625) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400855145781784 × 6371000     		du = 244.862959066258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15838468)-sin(1.15834625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400819938169955-0.400855145781784)×R²
    abs(1.57712400-1.57702812)×3.52076118289579e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52076118289579e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52076118289579e-05×40589641000000     		ar = 59949.0092797127m²