Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49217 / 81982
↖ ↑ ↗
← S 41.108330°
W 44.821472°		 ← 230.08 m → S 41.108330°
W 44.818726°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 41.110400°
W 44.821472°		 ← 230.07 m →
52 945 m²		 S 41.110400°
W 44.818726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375499725341797 y=0.625476837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375499725341797 × 217)
    floor (0.375499725341797 × 131072)
    floor (49217.5)     		tx = 49217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625476837158203 × 217)
    floor (0.625476837158203 × 131072)
    floor (81982.5)     		ty = 81982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49217 / 81982 ti = "17/49217/81982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49217/81982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49217 ÷ 217
    49217 ÷ 131072     		x = 0.375495910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81982 ÷ 217
    81982 ÷ 131072     		y = 0.625473022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375495910644531 × 2 - 1) × π
    -0.249008178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78228226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625473022460938 × 2 - 1) × π
    -0.250946044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.788370251151444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78228226} λ = -0.78228226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788370251151444))-π/2
    2×atan(0.454585051366793)-π/2
    2×0.426660309181072-π/2
    0.853320618362144-1.57079632675     		φ = -0.71747571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78228226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.821472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71747571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.108330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49217 KachelY 81982 -0.78228226 -0.71747571 -44.821472 -41.108330
    Oben rechts KachelX + 1 49218 KachelY 81982 -0.78223433 -0.71747571 -44.818726 -41.108330
    Unten links KachelX 49217 KachelY + 1 81983 -0.78228226 -0.71751183 -44.821472 -41.110400
    Unten rechts KachelX + 1 49218 KachelY + 1 81983 -0.78223433 -0.71751183 -44.818726 -41.110400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71747571--0.71751183) × R
    3.61199999999728e-05 × 6371000     		dl = 230.120519999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71747571--0.71751183) × R
    3.61199999999728e-05 × 6371000     		dr = 230.120519999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78228226--0.78223433) × cos(-0.71747571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753467810240001 × 6371000     		do = 230.080460074682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78228226--0.78223433) × cos(-0.71751183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753444061397613 × 6371000     		du = 230.073208079961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71747571)-sin(-0.71751183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753467810240001-0.753444061397613)×R²
    abs(-0.78223433--0.78228226)×2.37488423877608e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37488423877608e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37488423877608e-05×40589641000000     		ar = 52945.4007035778m²