Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49220 / 16452
↖ ↑ ↗
← N 79.136190°
W 44.813232°		 ← 57.55 m → N 79.136190°
W 44.810486°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.135672°
W 44.813232°		 ← 57.56 m →
3 311 m²		 N 79.135672°
W 44.810486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375522613525391 y=0.125522613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375522613525391 × 217)
    floor (0.375522613525391 × 131072)
    floor (49220.5)     		tx = 49220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125522613525391 × 217)
    floor (0.125522613525391 × 131072)
    floor (16452.5)     		ty = 16452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49220 / 16452 ti = "17/49220/16452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49220/16452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49220 ÷ 217
    49220 ÷ 131072     		x = 0.375518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16452 ÷ 217
    16452 ÷ 131072     		y = 0.125518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78213845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125518798828125 × 2 - 1) × π
    0.74896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35293478095084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78213845} λ = -0.78213845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35293478095084))-π/2
    2×atan(10.5163877750083)-π/2
    2×1.47599169880609-π/2
    2.95198339761218-1.57079632675     		φ = 1.38118707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78213845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38118707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.136190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49220 KachelY 16452 -0.78213845 1.38118707 -44.813232 79.136190
    Oben rechts KachelX + 1 49221 KachelY 16452 -0.78209052 1.38118707 -44.810486 79.136190
    Unten links KachelX 49220 KachelY + 1 16453 -0.78213845 1.38117804 -44.813232 79.135672
    Unten rechts KachelX + 1 49221 KachelY + 1 16453 -0.78209052 1.38117804 -44.810486 79.135672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38118707-1.38117804) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38118707-1.38117804) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78213845--0.78209052) × cos(1.38118707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188475169086498 × 6371000     		do = 57.5531602368816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78213845--0.78209052) × cos(1.38117804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188484037242752 × 6371000     		du = 57.5558682350776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38118707)-sin(1.38117804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188475169086498-0.188484037242752)×R²
    abs(-0.78209052--0.78213845)×8.86815625361637e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.86815625361637e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.86815625361637e-06×40589641000000     		ar = 3311.11868594034m²