Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49220 / 81988
↖ ↑ ↗
← S 41.120746°
W 44.813232°		 ← 230.04 m → S 41.120746°
W 44.810486°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 41.122814°
W 44.813232°		 ← 230.03 m →
52 921 m²		 S 41.122814°
W 44.810486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375522613525391 y=0.625522613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375522613525391 × 217)
    floor (0.375522613525391 × 131072)
    floor (49220.5)     		tx = 49220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625522613525391 × 217)
    floor (0.625522613525391 × 131072)
    floor (81988.5)     		ty = 81988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49220 / 81988 ti = "17/49220/81988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49220/81988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49220 ÷ 217
    49220 ÷ 131072     		x = 0.375518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81988 ÷ 217
    81988 ÷ 131072     		y = 0.625518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78213845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.25103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788657872549164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78213845} λ = -0.78213845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788657872549164))-π/2
    2×atan(0.45445432178015)-π/2
    2×0.426551962694258-π/2
    0.853103925388517-1.57079632675     		φ = -0.71769240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78213845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71769240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.120746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49220 KachelY 81988 -0.78213845 -0.71769240 -44.813232 -41.120746
    Oben rechts KachelX + 1 49221 KachelY 81988 -0.78209052 -0.71769240 -44.810486 -41.120746
    Unten links KachelX 49220 KachelY + 1 81989 -0.78213845 -0.71772851 -44.813232 -41.122814
    Unten rechts KachelX + 1 49221 KachelY + 1 81989 -0.78209052 -0.71772851 -44.810486 -41.122814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71769240--0.71772851) × R
    3.61100000000336e-05 × 6371000     		dl = 230.056810000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71769240--0.71772851) × R
    3.61100000000336e-05 × 6371000     		dr = 230.056810000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78213845--0.78209052) × cos(-0.71769240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753325322170974 × 6371000     		do = 230.036949628673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78213845--0.78209052) × cos(-0.71772851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753301574008715 × 6371000     		du = 230.029697841637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71769240)-sin(-0.71772851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753325322170974-0.753301574008715)×R²
    abs(-0.78209052--0.78213845)×2.37481622586966e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37481622586966e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37481622586966e-05×40589641000000     		ar = 52920.7326578082m²