Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49223 / 81993
↖ ↑ ↗
← S 41.131090°
W 44.804992°		 ← 230 m → S 41.131090°
W 44.802246°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 41.133159°
W 44.804992°		 ← 229.99 m →
52 898 m²		 S 41.133159°
W 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375545501708984 y=0.625560760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375545501708984 × 217)
    floor (0.375545501708984 × 131072)
    floor (49223.5)     		tx = 49223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625560760498047 × 217)
    floor (0.625560760498047 × 131072)
    floor (81993.5)     		ty = 81993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49223 / 81993 ti = "17/49223/81993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49223/81993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49223 ÷ 217
    49223 ÷ 131072     		x = 0.375541687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81993 ÷ 217
    81993 ÷ 131072     		y = 0.625556945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375541687011719 × 2 - 1) × π
    -0.248916625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78199464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625556945800781 × 2 - 1) × π
    -0.251113891601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.788897557047264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78199464} λ = -0.78199464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788897557047264))-π/2
    2×atan(0.454345409176978)-π/2
    2×0.426461689608956-π/2
    0.852923379217912-1.57079632675     		φ = -0.71787295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78199464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.804992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71787295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.131090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49223 KachelY 81993 -0.78199464 -0.71787295 -44.804992 -41.131090
    Oben rechts KachelX + 1 49224 KachelY 81993 -0.78194671 -0.71787295 -44.802246 -41.131090
    Unten links KachelX 49223 KachelY + 1 81994 -0.78199464 -0.71790905 -44.804992 -41.133159
    Unten rechts KachelX + 1 49224 KachelY + 1 81994 -0.78194671 -0.71790905 -44.802246 -41.133159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71787295--0.71790905) × R
    3.61000000000944e-05 × 6371000     		dl = 229.993100000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71787295--0.71790905) × R
    3.61000000000944e-05 × 6371000     		dr = 229.993100000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78199464--0.78194671) × cos(-0.71787295) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.753206571537449 × 6371000     		do = 230.000687693624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78199464--0.78194671) × cos(-0.71790905) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.753182825042342 × 6371000     		du = 229.993436415672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71787295)-sin(-0.71790905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753206571537449-0.753182825042342)×R²
    abs(-0.78194671--0.78199464)×2.37464951071686e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37464951071686e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37464951071686e-05×40589641000000     		ar = 52897.7372987743m²