Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49224 / 16456
↖ ↑ ↗
← N 66.355136°
E 90.395508°		 ← 244.97 m → N 66.355136°
E 90.401001°		 →
↑
244.96 m
↓
↑
244.96 m
↓
N 66.352933°
E 90.395508°		 ← 244.99 m →
60 011 m²		 N 66.352933°
E 90.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751106262207031 y=0.251106262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751106262207031 × 216)
    floor (0.751106262207031 × 65536)
    floor (49224.5)     		tx = 49224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251106262207031 × 216)
    floor (0.251106262207031 × 65536)
    floor (16456.5)     		ty = 16456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49224 / 16456 ti = "16/49224/16456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49224/16456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49224 ÷ 216
    49224 ÷ 65536     		x = 0.7510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16456 ÷ 216
    16456 ÷ 65536     		y = 0.2510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57769924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2510986328125 × 2 - 1) × π
    0.497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56389341320471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57769924} λ = 1.57769924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56389341320471))-π/2
    2×atan(4.77738541816006)-π/2
    2×1.36445596456331-π/2
    2.72891192912661-1.57079632675     		φ = 1.15811560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57769924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15811560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49224 KachelY 16456 1.57769924 1.15811560 90.395508 66.355136
    Oben rechts KachelX + 1 49225 KachelY 16456 1.57779511 1.15811560 90.401001 66.355136
    Unten links KachelX 49224 KachelY + 1 16457 1.57769924 1.15807715 90.395508 66.352933
    Unten rechts KachelX + 1 49225 KachelY + 1 16457 1.57779511 1.15807715 90.401001 66.352933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15811560-1.15807715) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dl = 244.96494999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15811560-1.15807715) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dr = 244.96494999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57769924-1.57779511) × cos(1.15811560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401066443142179 × 6371000     		do = 244.966478428638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57769924-1.57779511) × cos(1.15807715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401101664928446 × 6371000     		du = 244.987991464927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15811560)-sin(1.15807715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401066443142179-0.401101664928446)×R²
    abs(1.57779511-1.57769924)×3.52217862667481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52217862667481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52217862667481e-05×40589641000000     		ar = 60010.8361170953m²