Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49226 / 81994
↖ ↑ ↗
← S 41.133159°
W 44.796753°		 ← 229.99 m → S 41.133159°
W 44.794007°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 41.135228°
W 44.796753°		 ← 229.99 m →
52 911 m²		 S 41.135228°
W 44.794007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375568389892578 y=0.625568389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375568389892578 × 217)
    floor (0.375568389892578 × 131072)
    floor (49226.5)     		tx = 49226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625568389892578 × 217)
    floor (0.625568389892578 × 131072)
    floor (81994.5)     		ty = 81994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49226 / 81994 ti = "17/49226/81994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49226/81994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49226 ÷ 217
    49226 ÷ 131072     		x = 0.375564575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81994 ÷ 217
    81994 ÷ 131072     		y = 0.625564575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375564575195312 × 2 - 1) × π
    -0.248870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78185083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625564575195312 × 2 - 1) × π
    -0.251129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788945493946884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78185083} λ = -0.78185083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788945493946884))-π/2
    2×atan(0.454323629788728)-π/2
    2×0.42644363669964-π/2
    0.852887273399281-1.57079632675     		φ = -0.71790905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78185083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.796753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71790905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.133159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49226 KachelY 81994 -0.78185083 -0.71790905 -44.796753 -41.133159
    Oben rechts KachelX + 1 49227 KachelY 81994 -0.78180290 -0.71790905 -44.794007 -41.133159
    Unten links KachelX 49226 KachelY + 1 81995 -0.78185083 -0.71794516 -44.796753 -41.135228
    Unten rechts KachelX + 1 49227 KachelY + 1 81995 -0.78180290 -0.71794516 -44.794007 -41.135228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71790905--0.71794516) × R
    3.61099999999226e-05 × 6371000     		dl = 230.056809999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71790905--0.71794516) × R
    3.61099999999226e-05 × 6371000     		dr = 230.056809999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78185083--0.78180290) × cos(-0.71790905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753182825042342 × 6371000     		do = 229.993436416205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78185083--0.78180290) × cos(-0.71794516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753159070987295 × 6371000     		du = 229.986182829735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71790905)-sin(-0.71794516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753182825042342-0.753159070987295)×R²
    abs(-0.78180290--0.78185083)×2.37540550468429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37540550468429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37540550468429e-05×40589641000000     		ar = 52910.7219400612m²