Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49228 / 81980
↖ ↑ ↗
← S 41.104191°
W 44.791260°		 ← 230.14 m → S 41.104191°
W 44.788513°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 41.106261°
W 44.791260°		 ← 230.14 m →
52 960 m²		 S 41.106261°
W 44.788513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375583648681641 y=0.625461578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375583648681641 × 217)
    floor (0.375583648681641 × 131072)
    floor (49228.5)     		tx = 49228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625461578369141 × 217)
    floor (0.625461578369141 × 131072)
    floor (81980.5)     		ty = 81980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49228 / 81980 ti = "17/49228/81980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49228/81980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49228 ÷ 217
    49228 ÷ 131072     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81980 ÷ 217
    81980 ÷ 131072     		y = 0.625457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.25091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.788274377352203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788274377352203))-π/2
    2×atan(0.454628636252036)-π/2
    2×0.426696429230288-π/2
    0.853392858460576-1.57079632675     		φ = -0.71740347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71740347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.104191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49228 KachelY 81980 -0.78175496 -0.71740347 -44.791260 -41.104191
    Oben rechts KachelX + 1 49229 KachelY 81980 -0.78170702 -0.71740347 -44.788513 -41.104191
    Unten links KachelX 49228 KachelY + 1 81981 -0.78175496 -0.71743959 -44.791260 -41.106261
    Unten rechts KachelX + 1 49229 KachelY + 1 81981 -0.78170702 -0.71743959 -44.788513 -41.106261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71740347--0.71743959) × R
    3.61199999999728e-05 × 6371000     		dl = 230.120519999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71740347--0.71743959) × R
    3.61199999999728e-05 × 6371000     		dr = 230.120519999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78170702) × cos(-0.71740347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7535153049757 × 6371000     		do = 230.142969623378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78170702) × cos(-0.71743959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753491558099373 × 6371000     		du = 230.135716716103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71740347)-sin(-0.71743959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7535153049757-0.753491558099373)×R²
    abs(-0.78170702--0.78175496)×2.3746876326558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3746876326558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3746876326558e-05×40589641000000     		ar = 52959.7853284543m²