Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49232 / 114768
↖ ↑ ↗
← S 79.212538°
W 44.780273°		 ← 57.17 m → S 79.212538°
W 44.777527°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
S 79.213052°
W 44.780273°		 ← 57.16 m →
3 267 m²		 S 79.213052°
W 44.777527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375614166259766 y=0.875614166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375614166259766 × 217)
    floor (0.375614166259766 × 131072)
    floor (49232.5)     		tx = 49232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875614166259766 × 217)
    floor (0.875614166259766 × 131072)
    floor (114768.5)     		ty = 114768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49232 / 114768 ti = "17/49232/114768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49232/114768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49232 ÷ 217
    49232 ÷ 131072     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114768 ÷ 217
    114768 ÷ 131072     		y = 0.8756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3600294420946))-π/2
    2×atan(0.0944174433080815)-π/2
    2×0.0941383682417059-π/2
    0.188276736483412-1.57079632675     		φ = -1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49232 KachelY 114768 -0.78156321 -1.38251959 -44.780273 -79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 49233 KachelY 114768 -0.78151527 -1.38251959 -44.777527 -79.212538
    Unten links KachelX 49232 KachelY + 1 114769 -0.78156321 -1.38252856 -44.780273 -79.213052
    Unten rechts KachelX + 1 49233 KachelY + 1 114769 -0.78151527 -1.38252856 -44.777527 -79.213052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38251959--1.38252856) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38251959--1.38252856) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78151527) × cos(-1.38251959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 57.1654251139717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78151527) × cos(-1.38252856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187157552135648 × 6371000     		du = 57.1627338575814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38251959)-sin(-1.38252856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.187157552135648)×R²
    abs(-0.78151527--0.78156321)×8.81149175663287e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.81149175663287e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.81149175663287e-06×40589641000000     		ar = 3266.8053830168m²