Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49232 / 81999
↖ ↑ ↗
← S 41.143502°
W 44.780273°		 ← 230.01 m → S 41.143502°
W 44.777527°		 →
↑
229.93 m
↓
↑
229.93 m
↓
S 41.145569°
W 44.780273°		 ← 230 m →
52 884 m²		 S 41.145569°
W 44.777527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375614166259766 y=0.625606536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375614166259766 × 217)
    floor (0.375614166259766 × 131072)
    floor (49232.5)     		tx = 49232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625606536865234 × 217)
    floor (0.625606536865234 × 131072)
    floor (81999.5)     		ty = 81999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49232 / 81999 ti = "17/49232/81999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49232/81999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49232 ÷ 217
    49232 ÷ 131072     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81999 ÷ 217
    81999 ÷ 131072     		y = 0.625602722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625602722167969 × 2 - 1) × π
    -0.251205444335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.789185178444984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789185178444984))-π/2
    2×atan(0.454214748506646)-π/2
    2×0.42635338069209-π/2
    0.85270676138418-1.57079632675     		φ = -0.71808957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71808957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.143502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49232 KachelY 81999 -0.78156321 -0.71808957 -44.780273 -41.143502
    Oben rechts KachelX + 1 49233 KachelY 81999 -0.78151527 -0.71808957 -44.777527 -41.143502
    Unten links KachelX 49232 KachelY + 1 82000 -0.78156321 -0.71812566 -44.780273 -41.145569
    Unten rechts KachelX + 1 49233 KachelY + 1 82000 -0.78151527 -0.71812566 -44.777527 -41.145569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71808957--0.71812566) × R
    3.60900000000441e-05 × 6371000     		dl = 229.929390000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71808957--0.71812566) × R
    3.60900000000441e-05 × 6371000     		dr = 229.929390000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78151527) × cos(-0.71808957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753064064685151 × 6371000     		do = 230.005149223719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78151527) × cos(-0.71812566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753040318880375 × 6371000     		du = 229.997896643724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71808957)-sin(-0.71812566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753064064685151-0.753040318880375)×R²
    abs(-0.78151527--0.78156321)×2.37458047751549e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37458047751549e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37458047751549e-05×40589641000000     		ar = 52884.1098729468m²