Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49233 / 82001
↖ ↑ ↗
← S 41.147638°
W 44.777527°		 ← 229.94 m → S 41.147638°
W 44.774780°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 41.149706°
W 44.777527°		 ← 229.94 m →
52 884 m²		 S 41.149706°
W 44.774780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375621795654297 y=0.625621795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375621795654297 × 217)
    floor (0.375621795654297 × 131072)
    floor (49233.5)     		tx = 49233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625621795654297 × 217)
    floor (0.625621795654297 × 131072)
    floor (82001.5)     		ty = 82001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49233 / 82001 ti = "17/49233/82001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49233/82001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49233 ÷ 217
    49233 ÷ 131072     		x = 0.375617980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82001 ÷ 217
    82001 ÷ 131072     		y = 0.625617980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375617980957031 × 2 - 1) × π
    -0.248764038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78151527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625617980957031 × 2 - 1) × π
    -0.251235961914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.789281052244225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78151527} λ = -0.78151527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789281052244225))-π/2
    2×atan(0.454171203300491)-π/2
    2×0.426317282274055-π/2
    0.85263456454811-1.57079632675     		φ = -0.71816176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78151527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.777527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71816176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.147638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49233 KachelY 82001 -0.78151527 -0.71816176 -44.777527 -41.147638
    Oben rechts KachelX + 1 49234 KachelY 82001 -0.78146734 -0.71816176 -44.774780 -41.147638
    Unten links KachelX 49233 KachelY + 1 82002 -0.78151527 -0.71819786 -44.777527 -41.149706
    Unten rechts KachelX + 1 49234 KachelY + 1 82002 -0.78146734 -0.71819786 -44.774780 -41.149706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71816176--0.71819786) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dl = 229.993099999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71816176--0.71819786) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dr = 229.993099999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78151527--0.78146734) × cos(-0.71816176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753016565514759 × 6371000     		do = 229.942667069355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78151527--0.78146734) × cos(-0.71819786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.752992811167803 × 6371000     		du = 229.935413393748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71816176)-sin(-0.71819786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753016565514759-0.752992811167803)×R²
    abs(-0.78146734--0.78151527)×2.37543469554513e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37543469554513e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37543469554513e-05×40589641000000     		ar = 52884.3926795057m²