Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49240 / 82008
↖ ↑ ↗
← S 41.162114°
W 44.758301°		 ← 229.94 m → S 41.162114°
W 44.755554°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 41.164181°
W 44.758301°		 ← 229.93 m →
52 854 m²		 S 41.164181°
W 44.755554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375675201416016 y=0.625675201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375675201416016 × 217)
    floor (0.375675201416016 × 131072)
    floor (49240.5)     		tx = 49240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625675201416016 × 217)
    floor (0.625675201416016 × 131072)
    floor (82008.5)     		ty = 82008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49240 / 82008 ti = "17/49240/82008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49240/82008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49240 ÷ 217
    49240 ÷ 131072     		x = 0.37567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82008 ÷ 217
    82008 ÷ 131072     		y = 0.62567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.789616610541565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78117972} λ = -0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789616610541565))-π/2
    2×atan(0.454018827951646)-π/2
    2×0.426190955744179-π/2
    0.852381911488358-1.57079632675     		φ = -0.71841442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71841442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.162114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49240 KachelY 82008 -0.78117972 -0.71841442 -44.758301 -41.162114
    Oben rechts KachelX + 1 49241 KachelY 82008 -0.78113178 -0.71841442 -44.755554 -41.162114
    Unten links KachelX 49240 KachelY + 1 82009 -0.78117972 -0.71845050 -44.758301 -41.164181
    Unten rechts KachelX + 1 49241 KachelY + 1 82009 -0.78113178 -0.71845050 -44.755554 -41.164181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71841442--0.71845050) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dl = 229.865679999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71841442--0.71845050) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dr = 229.865679999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78117972--0.78113178) × cos(-0.71841442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752850290807364 × 6371000     		do = 229.939857178903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78117972--0.78113178) × cos(-0.71845050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75282654275737 × 6371000     		du = 229.932603913161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71841442)-sin(-0.71845050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752850290807364-0.75282654275737)×R²
    abs(-0.78113178--0.78117972)×2.37480499932774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37480499932774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37480499932774e-05×40589641000000     		ar = 52854.4479969123m²