Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49248 / 16416
↖ ↑ ↗
← N 66.443106°
E 90.527344°		 ← 244.13 m → N 66.443106°
E 90.532837°		 →
↑
244.07 m
↓
↑
244.07 m
↓
N 66.440911°
E 90.527344°		 ← 244.15 m →
59 589 m²		 N 66.440911°
E 90.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751472473144531 y=0.250495910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751472473144531 × 216)
    floor (0.751472473144531 × 65536)
    floor (49248.5)     		tx = 49248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250495910644531 × 216)
    floor (0.250495910644531 × 65536)
    floor (16416.5)     		ty = 16416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49248 / 16416 ti = "16/49248/16416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49248/16416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49248 ÷ 216
    49248 ÷ 65536     		x = 0.75146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16416 ÷ 216
    16416 ÷ 65536     		y = 0.25048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58000021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58000021} λ = 1.58000021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56772836517432))-π/2
    2×atan(4.79574163689073)-π/2
    2×1.36522365029887-π/2
    2.73044730059773-1.57079632675     		φ = 1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58000021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49248 KachelY 16416 1.58000021 1.15965097 90.527344 66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 49249 KachelY 16416 1.58009609 1.15965097 90.532837 66.443106
    Unten links KachelX 49248 KachelY + 1 16417 1.58000021 1.15961266 90.527344 66.440911
    Unten rechts KachelX + 1 49249 KachelY + 1 16417 1.58009609 1.15961266 90.532837 66.440911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15965097-1.15961266) × R
    3.83099999998748e-05 × 6371000     		dl = 244.073009999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15965097-1.15961266) × R
    3.83099999998748e-05 × 6371000     		dr = 244.073009999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58000021-1.58009609) × cos(1.15965097) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 244.132595156246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58000021-1.58009609) × cos(1.15961266) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.399694613956636 × 6371000     		du = 244.154046483845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15965097)-sin(1.15961266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.399694613956636)×R²
    abs(1.58009609-1.58000021)×3.51170919634103e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.51170919634103e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.51170919634103e-05×40589641000000     		ar = 59588.7951910911m²