Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49248 / 81889
↖ ↑ ↗
← S 40.915588°
W 44.736328°		 ← 230.80 m → S 40.915588°
W 44.733581°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
S 40.917663°
W 44.736328°		 ← 230.80 m →
53 259 m²		 S 40.917663°
W 44.733581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375736236572266 y=0.624767303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375736236572266 × 217)
    floor (0.375736236572266 × 131072)
    floor (49248.5)     		tx = 49248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624767303466797 × 217)
    floor (0.624767303466797 × 131072)
    floor (81889.5)     		ty = 81889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49248 / 81889 ti = "17/49248/81889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49248/81889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49248 ÷ 217
    49248 ÷ 131072     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81889 ÷ 217
    81889 ÷ 131072     		y = 0.624763488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624763488769531 × 2 - 1) × π
    -0.249526977539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.783912119486778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783912119486778))-π/2
    2×atan(0.456616175523997)-π/2
    2×0.428342299251087-π/2
    0.856684598502175-1.57079632675     		φ = -0.71411173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71411173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.915588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49248 KachelY 81889 -0.78079622 -0.71411173 -44.736328 -40.915588
    Oben rechts KachelX + 1 49249 KachelY 81889 -0.78074828 -0.71411173 -44.733581 -40.915588
    Unten links KachelX 49248 KachelY + 1 81890 -0.78079622 -0.71414795 -44.736328 -40.917663
    Unten rechts KachelX + 1 49249 KachelY + 1 81890 -0.78074828 -0.71414795 -44.733581 -40.917663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71411173--0.71414795) × R
    3.62200000000312e-05 × 6371000     		dl = 230.757620000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71411173--0.71414795) × R
    3.62200000000312e-05 × 6371000     		dr = 230.757620000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78074828) × cos(-0.71411173) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.755675308524528 × 6371000     		do = 230.802690306215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78074828) × cos(-0.71414795) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.755651585869104 × 6371000     		du = 230.795444796628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71411173)-sin(-0.71414795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755675308524528-0.755651585869104)×R²
    abs(-0.78074828--0.78079622)×2.3722655423275e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3722655423275e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3722655423275e-05×40589641000000     		ar = 53258.6435320463m²