Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49256 / 81896
↖ ↑ ↗
← S 40.930115°
W 44.714356°		 ← 230.75 m → S 40.930115°
W 44.711609°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
S 40.932190°
W 44.714356°		 ← 230.74 m →
53 247 m²		 S 40.932190°
W 44.711609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375797271728516 y=0.624820709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375797271728516 × 217)
    floor (0.375797271728516 × 131072)
    floor (49256.5)     		tx = 49256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624820709228516 × 217)
    floor (0.624820709228516 × 131072)
    floor (81896.5)     		ty = 81896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49256 / 81896 ti = "17/49256/81896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49256/81896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49256 ÷ 217
    49256 ÷ 131072     		x = 0.37579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81896 ÷ 217
    81896 ÷ 131072     		y = 0.62481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.2484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78041273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78041273} λ = -0.78041273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784247677784119))-π/2
    2×atan(0.456462979882072)-π/2
    2×0.428215526623415-π/2
    0.85643105324683-1.57079632675     		φ = -0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78041273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.714356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49256 KachelY 81896 -0.78041273 -0.71436527 -44.714356 -40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 49257 KachelY 81896 -0.78036479 -0.71436527 -44.711609 -40.930115
    Unten links KachelX 49256 KachelY + 1 81897 -0.78041273 -0.71440149 -44.714356 -40.932190
    Unten rechts KachelX + 1 49257 KachelY + 1 81897 -0.78036479 -0.71440149 -44.711609 -40.932190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71436527--0.71440149) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dl = 230.757619999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71436527--0.71440149) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dr = 230.757619999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78041273--0.78036479) × cos(-0.71436527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 230.751965380566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78041273--0.78036479) × cos(-0.71440149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755485499525629 × 6371000     		du = 230.744717751734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71436527)-sin(-0.71440149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.755485499525629)×R²
    abs(-0.78036479--0.78041273)×2.37295940833659e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37295940833659e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37295940833659e-05×40589641000000     		ar = 53246.9381245397m²