Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49272 / 82040
↖ ↑ ↗
← S 41.228249°
W 44.670410°		 ← 229.71 m → S 41.228249°
W 44.667664°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 41.230315°
W 44.670410°		 ← 229.70 m →
52 757 m²		 S 41.230315°
W 44.667664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375919342041016 y=0.625919342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375919342041016 × 217)
    floor (0.375919342041016 × 131072)
    floor (49272.5)     		tx = 49272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625919342041016 × 217)
    floor (0.625919342041016 × 131072)
    floor (82040.5)     		ty = 82040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49272 / 82040 ti = "17/49272/82040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49272/82040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49272 ÷ 217
    49272 ÷ 131072     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82040 ÷ 217
    82040 ÷ 131072     		y = 0.62591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.791150591329407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791150591329407))-π/2
    2×atan(0.453322905694401)-π/2
    2×0.425613818332405-π/2
    0.85122763666481-1.57079632675     		φ = -0.71956869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71956869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.228249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49272 KachelY 82040 -0.77964574 -0.71956869 -44.670410 -41.228249
    Oben rechts KachelX + 1 49273 KachelY 82040 -0.77959780 -0.71956869 -44.667664 -41.228249
    Unten links KachelX 49272 KachelY + 1 82041 -0.77964574 -0.71960474 -44.670410 -41.230315
    Unten rechts KachelX + 1 49273 KachelY + 1 82041 -0.77959780 -0.71960474 -44.667664 -41.230315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71956869--0.71960474) × R
    3.60499999999542e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71956869--0.71960474) × R
    3.60499999999542e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77959780) × cos(-0.71956869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752090058406369 × 6371000     		do = 229.707662635258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77959780) × cos(-0.71960474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752066298792073 × 6371000     		du = 229.700405837479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71956869)-sin(-0.71960474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752090058406369-0.752066298792073)×R²
    abs(-0.77959780--0.77964574)×2.37596142969032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37596142969032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37596142969032e-05×40589641000000     		ar = 52757.1707020869m²