Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49279 / 82051
↖ ↑ ↗
← S 41.250967°
W 44.651184°		 ← 229.63 m → S 41.250967°
W 44.648437°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
S 41.253032°
W 44.651184°		 ← 229.62 m →
52 724 m²		 S 41.253032°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375972747802734 y=0.626003265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375972747802734 × 217)
    floor (0.375972747802734 × 131072)
    floor (49279.5)     		tx = 49279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626003265380859 × 217)
    floor (0.626003265380859 × 131072)
    floor (82051.5)     		ty = 82051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49279 / 82051 ti = "17/49279/82051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49279/82051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49279 ÷ 217
    49279 ÷ 131072     		x = 0.375968933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82051 ÷ 217
    82051 ÷ 131072     		y = 0.625999450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375968933105469 × 2 - 1) × π
    -0.248062133789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77931018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625999450683594 × 2 - 1) × π
    -0.251998901367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.791677897225227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77931018} λ = -0.77931018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791677897225227))-π/2
    2×atan(0.453083928866)-π/2
    2×0.425415562028277-π/2
    0.850831124056554-1.57079632675     		φ = -0.71996520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77931018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.651184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71996520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.250967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49279 KachelY 82051 -0.77931018 -0.71996520 -44.651184 -41.250967
    Oben rechts KachelX + 1 49280 KachelY 82051 -0.77926224 -0.71996520 -44.648437 -41.250967
    Unten links KachelX 49279 KachelY + 1 82052 -0.77931018 -0.72000124 -44.651184 -41.253032
    Unten rechts KachelX + 1 49280 KachelY + 1 82052 -0.77926224 -0.72000124 -44.648437 -41.253032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71996520--0.72000124) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dl = 229.610840000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71996520--0.72000124) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dr = 229.610840000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77931018--0.77926224) × cos(-0.71996520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751828675272242 × 6371000     		do = 229.627829498093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77931018--0.77926224) × cos(-0.72000124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751804911503324 × 6371000     		du = 229.620571431387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71996520)-sin(-0.72000124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751828675272242-0.751804911503324)×R²
    abs(-0.77926224--0.77931018)×2.37637689178838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37637689178838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37637689178838e-05×40589641000000     		ar = 52724.2055586121m²