Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49280 / 114817
↖ ↑ ↗
← S 79.237698°
W 44.648437°		 ← 57.03 m → S 79.237698°
W 44.645691°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
S 79.238211°
W 44.648437°		 ← 57.03 m →
3 252 m²		 S 79.238211°
W 44.645691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375980377197266 y=0.875988006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375980377197266 × 217)
    floor (0.375980377197266 × 131072)
    floor (49280.5)     		tx = 49280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875988006591797 × 217)
    floor (0.875988006591797 × 131072)
    floor (114817.5)     		ty = 114817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49280 / 114817 ti = "17/49280/114817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49280/114817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49280 ÷ 217
    49280 ÷ 131072     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114817 ÷ 217
    114817 ÷ 131072     		y = 0.875984191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875984191894531 × 2 - 1) × π
    -0.751968383789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36237835017599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36237835017599))-π/2
    2×atan(0.0941959256765985)-π/2
    2×0.0939188033663617-π/2
    0.187837606732723-1.57079632675     		φ = -1.38295872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38295872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.237698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49280 KachelY 114817 -0.77926224 -1.38295872 -44.648437 -79.237698
    Oben rechts KachelX + 1 49281 KachelY 114817 -0.77921430 -1.38295872 -44.645691 -79.237698
    Unten links KachelX 49280 KachelY + 1 114818 -0.77926224 -1.38296767 -44.648437 -79.238211
    Unten rechts KachelX + 1 49281 KachelY + 1 114818 -0.77921430 -1.38296767 -44.645691 -79.238211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38295872--1.38296767) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38295872--1.38296767) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77921430) × cos(-1.38295872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186734975799307 × 6371000     		do = 57.033668167348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77921430) × cos(-1.38296767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186726183219409 × 6371000     		du = 57.0309826871263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38295872)-sin(-1.38296767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186734975799307-0.186726183219409)×R²
    abs(-0.77921430--0.77926224)×8.79257989738758e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.79257989738758e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.79257989738758e-06×40589641000000     		ar = 3252.00886029588m²