Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49280 / 82048
↖ ↑ ↗
← S 41.244773°
W 44.648437°		 ← 229.65 m → S 41.244773°
W 44.645691°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
S 41.246837°
W 44.648437°		 ← 229.64 m →
52 729 m²		 S 41.246837°
W 44.645691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375980377197266 y=0.625980377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375980377197266 × 217)
    floor (0.375980377197266 × 131072)
    floor (49280.5)     		tx = 49280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625980377197266 × 217)
    floor (0.625980377197266 × 131072)
    floor (82048.5)     		ty = 82048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49280 / 82048 ti = "17/49280/82048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49280/82048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49280 ÷ 217
    49280 ÷ 131072     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82048 ÷ 217
    82048 ÷ 131072     		y = 0.6259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791534086526367))-π/2
    2×atan(0.453149091867909)-π/2
    2×0.425469625094814-π/2
    0.850939250189629-1.57079632675     		φ = -0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49280 KachelY 82048 -0.77926224 -0.71985708 -44.648437 -41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 49281 KachelY 82048 -0.77921430 -0.71985708 -44.645691 -41.244773
    Unten links KachelX 49280 KachelY + 1 82049 -0.77926224 -0.71989312 -44.648437 -41.246837
    Unten rechts KachelX + 1 49281 KachelY + 1 82049 -0.77921430 -0.71989312 -44.645691 -41.246837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71985708--0.71989312) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dl = 229.610840000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71985708--0.71989312) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dr = 229.610840000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77921430) × cos(-0.71985708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 229.64960190862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77921430) × cos(-0.71989312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751876199880437 × 6371000     		du = 229.64234473672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71985708)-sin(-0.71989312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751876199880437)×R²
    abs(-0.77921430--0.77926224)×2.37608392159583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37608392159583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37608392159583e-05×40589641000000     		ar = 52729.2048430169m²