Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49281 / 16511
↖ ↑ ↗
← N 66.233671°
E 90.708618°		 ← 246.15 m → N 66.233671°
E 90.714111°		 →
↑
246.18 m
↓
↑
246.18 m
↓
N 66.231457°
E 90.708618°		 ← 246.17 m →
60 599 m²		 N 66.231457°
E 90.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751976013183594 y=0.251945495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751976013183594 × 216)
    floor (0.751976013183594 × 65536)
    floor (49281.5)     		tx = 49281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251945495605469 × 216)
    floor (0.251945495605469 × 65536)
    floor (16511.5)     		ty = 16511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49281 / 16511 ti = "16/49281/16511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49281/16511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49281 ÷ 216
    49281 ÷ 65536     		x = 0.751968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16511 ÷ 216
    16511 ÷ 65536     		y = 0.251937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751968383789062 × 2 - 1) × π
    0.503936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58316405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251937866210938 × 2 - 1) × π
    0.496124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.55862035424651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58316405} λ = 1.58316405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55862035424651))-π/2
    2×atan(4.75226028455675)-π/2
    2×1.36339598386572-π/2
    2.72679196773144-1.57079632675     		φ = 1.15599564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58316405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.708618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15599564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.233671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49281 KachelY 16511 1.58316405 1.15599564 90.708618 66.233671
    Oben rechts KachelX + 1 49282 KachelY 16511 1.58325992 1.15599564 90.714111 66.233671
    Unten links KachelX 49281 KachelY + 1 16512 1.58316405 1.15595700 90.708618 66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 49282 KachelY + 1 16512 1.58325992 1.15595700 90.714111 66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15599564-1.15595700) × R
    3.86400000000897e-05 × 6371000     		dl = 246.175440000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15599564-1.15595700) × R
    3.86400000000897e-05 × 6371000     		dr = 246.175440000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58316405-1.58325992) × cos(1.15599564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403007527611442 × 6371000     		do = 246.152069083001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58316405-1.58325992) × cos(1.15595700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 246.173668308739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15599564)-sin(1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403007527611442-0.403042890509652)×R²
    abs(1.58325992-1.58316405)×3.53628982097121e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53628982097121e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53628982097121e-05×40589641000000     		ar = 60599.2525204636m²