Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49282 / 49282
↖ ↑ ↗
← S 66.796239°
E 90.714111°		 ← 240.65 m → S 66.796239°
E 90.719604°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
S 66.798403°
E 90.714111°		 ← 240.63 m →
57 906 m²		 S 66.798403°
E 90.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751991271972656 y=0.751991271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751991271972656 × 216)
    floor (0.751991271972656 × 65536)
    floor (49282.5)     		tx = 49282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751991271972656 × 216)
    floor (0.751991271972656 × 65536)
    floor (49282.5)     		ty = 49282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49282 / 49282 ti = "16/49282/49282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49282/49282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49282 ÷ 216
    49282 ÷ 65536     		x = 0.751983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49282 ÷ 216
    49282 ÷ 65536     		y = 0.751983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    0.50396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58325992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.50396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58325992065121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58325992} λ = 1.58325992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58325992065121))-π/2
    2×atan(0.205304728997493)-π/2
    2×0.202491018582328-π/2
    0.404982037164656-1.57079632675     		φ = -1.16581429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58325992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16581429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.796239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49282 KachelY 49282 1.58325992 -1.16581429 90.714111 -66.796239
    Oben rechts KachelX + 1 49283 KachelY 49282 1.58335579 -1.16581429 90.719604 -66.796239
    Unten links KachelX 49282 KachelY + 1 49283 1.58325992 -1.16585206 90.714111 -66.798403
    Unten rechts KachelX + 1 49283 KachelY + 1 49283 1.58335579 -1.16585206 90.719604 -66.798403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16581429--1.16585206) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dl = 240.632670000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16581429--1.16585206) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dr = 240.632670000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58325992-1.58335579) × cos(-1.16581429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39400225028234 × 6371000     		do = 240.651755824927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58325992-1.58335579) × cos(-1.16585206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393967535236446 × 6371000     		du = 240.63055229946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16581429)-sin(-1.16585206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39400225028234-0.393967535236446)×R²
    abs(1.58335579-1.58325992)×3.47150458936407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47150458936407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47150458936407e-05×40589641000000     		ar = 57906.1234206412m²