Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49282 / 81794
↖ ↑ ↗
← S 40.718119°
W 44.642945°		 ← 231.49 m → S 40.718119°
W 44.640198°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 40.720201°
W 44.642945°		 ← 231.48 m →
53 580 m²		 S 40.720201°
W 44.640198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375995635986328 y=0.624042510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375995635986328 × 217)
    floor (0.375995635986328 × 131072)
    floor (49282.5)     		tx = 49282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624042510986328 × 217)
    floor (0.624042510986328 × 131072)
    floor (81794.5)     		ty = 81794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49282 / 81794 ti = "17/49282/81794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49282/81794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49282 ÷ 217
    49282 ÷ 131072     		x = 0.375991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81794 ÷ 217
    81794 ÷ 131072     		y = 0.624038696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.248016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77916637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624038696289062 × 2 - 1) × π
    -0.248077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.779358114022873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77916637} λ = -0.77916637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779358114022873))-π/2
    2×atan(0.458700350151594)-π/2
    2×0.430065539207485-π/2
    0.860131078414971-1.57079632675     		φ = -0.71066525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77916637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.642945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71066525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.718119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49282 KachelY 81794 -0.77916637 -0.71066525 -44.642945 -40.718119
    Oben rechts KachelX + 1 49283 KachelY 81794 -0.77911843 -0.71066525 -44.640198 -40.718119
    Unten links KachelX 49282 KachelY + 1 81795 -0.77916637 -0.71070158 -44.642945 -40.720201
    Unten rechts KachelX + 1 49283 KachelY + 1 81795 -0.77911843 -0.71070158 -44.640198 -40.720201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71066525--0.71070158) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dl = 231.458430000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71066525--0.71070158) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dr = 231.458430000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77916637--0.77911843) × cos(-0.71066525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757928075796935 × 6371000     		do = 231.490743416903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77916637--0.77911843) × cos(-0.71070158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757904375852604 × 6371000     		du = 231.483504843868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71066525)-sin(-0.71070158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757928075796935-0.757904375852604)×R²
    abs(-0.77911843--0.77916637)×2.36999443310459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36999443310459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36999443310459e-05×40589641000000     		ar = 53579.6463223033m²