Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49282 / 82050
↖ ↑ ↗
← S 41.248902°
W 44.642945°		 ← 229.64 m → S 41.248902°
W 44.640198°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
S 41.250967°
W 44.642945°		 ← 229.63 m →
52 726 m²		 S 41.250967°
W 44.640198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375995635986328 y=0.625995635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375995635986328 × 217)
    floor (0.375995635986328 × 131072)
    floor (49282.5)     		tx = 49282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625995635986328 × 217)
    floor (0.625995635986328 × 131072)
    floor (82050.5)     		ty = 82050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49282 / 82050 ti = "17/49282/82050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49282/82050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49282 ÷ 217
    49282 ÷ 131072     		x = 0.375991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82050 ÷ 217
    82050 ÷ 131072     		y = 0.625991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.248016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77916637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.251983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791629960325607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77916637} λ = -0.77916637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791629960325607))-π/2
    2×atan(0.453105648825407)-π/2
    2×0.425433582480889-π/2
    0.850867164961778-1.57079632675     		φ = -0.71992916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77916637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.642945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71992916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.248902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49282 KachelY 82050 -0.77916637 -0.71992916 -44.642945 -41.248902
    Oben rechts KachelX + 1 49283 KachelY 82050 -0.77911843 -0.71992916 -44.640198 -41.248902
    Unten links KachelX 49282 KachelY + 1 82051 -0.77916637 -0.71996520 -44.642945 -41.250967
    Unten rechts KachelX + 1 49283 KachelY + 1 82051 -0.77911843 -0.71996520 -44.640198 -41.250967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71992916--0.71996520) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dl = 229.610840000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71992916--0.71996520) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dr = 229.610840000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77916637--0.77911843) × cos(-0.71992916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751852438064623 × 6371000     		do = 229.635087266541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77916637--0.77911843) × cos(-0.71996520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751828675272242 × 6371000     		du = 229.627829498093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71992916)-sin(-0.71996520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751852438064623-0.751828675272242)×R²
    abs(-0.77911843--0.77916637)×2.37627923813655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37627923813655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37627923813655e-05×40589641000000     		ar = 52725.872055302m²