Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49284 / 82308
↖ ↑ ↗
← S 41.779505°
W 44.637451°		 ← 227.71 m → S 41.779505°
W 44.634705°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 41.781553°
W 44.637451°		 ← 227.71 m →
51 864 m²		 S 41.781553°
W 44.634705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376010894775391 y=0.627964019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376010894775391 × 217)
    floor (0.376010894775391 × 131072)
    floor (49284.5)     		tx = 49284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627964019775391 × 217)
    floor (0.627964019775391 × 131072)
    floor (82308.5)     		ty = 82308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49284 / 82308 ti = "17/49284/82308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49284/82308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49284 ÷ 217
    49284 ÷ 131072     		x = 0.376007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82308 ÷ 217
    82308 ÷ 131072     		y = 0.627960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.24798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77907049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.25592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.803997680427582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77907049} λ = -0.77907049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803997680427582))-π/2
    2×atan(0.447536276196011)-π/2
    2×0.420803203524512-π/2
    0.841606407049023-1.57079632675     		φ = -0.72918992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77907049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72918992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.779505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49284 KachelY 82308 -0.77907049 -0.72918992 -44.637451 -41.779505
    Oben rechts KachelX + 1 49285 KachelY 82308 -0.77902256 -0.72918992 -44.634705 -41.779505
    Unten links KachelX 49284 KachelY + 1 82309 -0.77907049 -0.72922567 -44.637451 -41.781553
    Unten rechts KachelX + 1 49285 KachelY + 1 82309 -0.77902256 -0.72922567 -44.634705 -41.781553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72918992--0.72922567) × R
    3.57500000000011e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72918992--0.72922567) × R
    3.57500000000011e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77907049--0.77902256) × cos(-0.72918992) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.745714375536971 × 6371000     		do = 227.712855513764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77907049--0.77902256) × cos(-0.72922567) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.745690556059329 × 6371000     		du = 227.705581949717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72918992)-sin(-0.72922567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745714375536971-0.745690556059329)×R²
    abs(-0.77902256--0.77907049)×2.3819477641962e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3819477641962e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3819477641962e-05×40589641000000     		ar = 51863.7917188113m²