Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49286 / 82054
↖ ↑ ↗
← S 41.257162°
W 44.631958°		 ← 229.61 m → S 41.257162°
W 44.629211°		 →
↑
229.55 m
↓
↑
229.55 m
↓
S 41.259227°
W 44.631958°		 ← 229.60 m →
52 705 m²		 S 41.259227°
W 44.629211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376026153564453 y=0.626026153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376026153564453 × 217)
    floor (0.376026153564453 × 131072)
    floor (49286.5)     		tx = 49286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626026153564453 × 217)
    floor (0.626026153564453 × 131072)
    floor (82054.5)     		ty = 82054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49286 / 82054 ti = "17/49286/82054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49286/82054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49286 ÷ 217
    49286 ÷ 131072     		x = 0.376022338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82054 ÷ 217
    82054 ÷ 131072     		y = 0.626022338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376022338867188 × 2 - 1) × π
    -0.247955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77897462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626022338867188 × 2 - 1) × π
    -0.252044677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.791821707924088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77897462} λ = -0.77897462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791821707924088))-π/2
    2×atan(0.453018775234555)-π/2
    2×0.425361504087909-π/2
    0.850723008175817-1.57079632675     		φ = -0.72007332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77897462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.631958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72007332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.257162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49286 KachelY 82054 -0.77897462 -0.72007332 -44.631958 -41.257162
    Oben rechts KachelX + 1 49287 KachelY 82054 -0.77892668 -0.72007332 -44.629211 -41.257162
    Unten links KachelX 49286 KachelY + 1 82055 -0.77897462 -0.72010935 -44.631958 -41.259227
    Unten rechts KachelX + 1 49287 KachelY + 1 82055 -0.77892668 -0.72010935 -44.629211 -41.259227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72007332--0.72010935) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dl = 229.547129999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72007332--0.72010935) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dr = 229.547129999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77897462--0.77892668) × cos(-0.72007332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751757381036002 × 6371000     		do = 229.606054403232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77897462--0.77892668) × cos(-0.72010935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751733620932329 × 6371000     		du = 229.598797455986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72007332)-sin(-0.72010935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751757381036002-0.751733620932329)×R²
    abs(-0.77892668--0.77897462)×2.37601036731094e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37601036731094e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37601036731094e-05×40589641000000     		ar = 52704.5779187125m²